物理学2 第7回資料（平成27年度後期）（改訂) 名城大学教員：山﨑

物理学２第７回資料（平成２７年度後期）（改訂)
名城大学教員：山﨑耕造
キーワード（6.2）
𝑀𝑀 = ∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 = ∫ 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑
全質量
質量中心位置 𝑹𝑹 =
𝑹𝑹 =
例１
1
𝑀𝑀
𝑹𝑹 =
1
∫ 𝜌𝜌𝒓𝒓𝑑𝑑𝑑𝑑
ℓ
∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑀𝑀 0
X=
1 𝑎𝑎
∫ 𝜌𝜌𝑥𝑥･2𝑏𝑏√𝑎𝑎2
𝑀𝑀 0
𝑋𝑋 =
1
𝑀𝑀
∫ 𝜌𝜌𝒓𝒓𝑑𝑑𝑑𝑑
∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝒓𝒓𝑖𝑖 =
1
𝑀𝑀
∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝒓𝒓𝑖𝑖 ∆𝑉𝑉𝑖𝑖
x=(m 1 x 1 +m 2 x 2 )/(m 1 +m 2 )
𝜌𝜌𝑆𝑆
𝑀𝑀
∫ 𝜌𝜌𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 =
例 4 半球体の重心
1
𝑀𝑀
断面積 S，長さℓ，密度 ρ, 全質量𝑀𝑀 = 𝜌𝜌𝑆𝑆ℓ，
𝑋𝑋 =
例 3 半円板の重心
1
𝑀𝑀
2 つの質点のつり合い
例 2 丸い棒の重心
∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝒓𝒓𝑖𝑖 =
𝑁𝑁
𝑀𝑀 = ∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 = ∑𝑖𝑖=1 𝜌𝜌𝑖𝑖 ∆𝑉𝑉𝑖𝑖
６．２重心（質量中心）
剛体の重心 𝑀𝑀 = ∫ 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑
1
𝑀𝑀
1
= ℓ
2
半径 a，厚み b，密度 ρ, 全質量 M=ρπa2b/2
− 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
4
3𝜋𝜋
𝑎𝑎
半径 a，密度 ρ, 全質量𝑀𝑀 = 2𝜌𝜌𝜋𝜋𝑎𝑎3 /3
1
𝑎𝑎
3
∫ 𝜌𝜌𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 ∫0 𝜌𝜌𝑥𝑥･𝜋𝜋(𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = 8 𝑎𝑎
例題 6.１モビールのつり合い,
例題 6.2 円錐の重心
練習問題略解
１．重心の計算：(1)左端を原点として X=(0×50+36×70)/(50+70) = 252/12 = 21(cm),
(2) X= (18×60+36×70)/(50+70+60) = (108+252)/18 = 20(cm)
２．重心の計算：横軸を x，縦軸を y として，重りの位置は(r/2,√3r/2), (√3r/2,r/2,), (0,r), (√3r/2, −r/2,),
(r/2,−√3r/2) なので，x = (1/2+√3/2+0+√3/2+1/2)r/5=(2+√3)r/5, y = (√3/2+1/2+0-1/2-√3/2)r/5 = 0
３．２次元，３次元物体の重心問題：
(1)頂点から水平にｘ軸をとり，面密度を σ (厚さを b とすると σ=ρb) として，全質量 M= (𝜎𝜎/2) ℓ𝑎𝑎, 重
心の位置は
𝑋𝑋 =
1
𝑀𝑀
1
ℓ
𝑥𝑥
𝜎𝜎 𝑎𝑎
2
∫ 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝑀𝑀 ∫0 𝜎𝜎𝜎𝜎(𝑎𝑎 ℓ)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑀𝑀 3ℓ ℓ3 = 3 ℓ.
(2) 扇形のかなめを原点として，両辺を x 軸，y 軸をとる．全質量 M= (𝜎𝜎/4)𝜋𝜋𝑟𝑟 2 , t=√𝑟𝑟 2 − 𝑥𝑥 2 , tdt= - xdx,
𝑋𝑋 =
1
𝑀𝑀
1
𝑟𝑟
∫ 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝑀𝑀 ∫0 𝜎𝜎𝜎𝜎√𝑟𝑟 2 − 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1 0
∫ 𝜎𝜎𝑡𝑡 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑀𝑀 𝑟𝑟
=
4
3𝜋𝜋
(3) 頂点を原点として，垂線下方に x 軸をとる. 全質量 𝑀𝑀 =
𝑋𝑋 =
1
𝑀𝑀
1
ℎ
𝑥𝑥
𝜌𝜌 𝑎𝑎 2
3
∫ 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝑀𝑀 ∫0 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑎𝑎2 (ℎ)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑀𝑀 4ℎ2 ℎ4 = 4 ℎ.
𝑟𝑟, y 軸方向も
𝜌𝜌
3
𝑎𝑎2 ℎ,
4
3𝜋𝜋
𝑟𝑟．
重心の位置は頂点から
４．円柱の重心問題：(1)単純な円柱の重心は x=h，(2)円錐の重心は，角錐の重心と同様に底面から 1/4
のところなので，x=7h/4,
(3) M=2πa2hρ，円錐の質量は(1/3)πa2hρ=M/6，したがって，くりぬいた
円柱の質量は 5M/6．(4)重心の位置 x=(M×h - M/6×7h/4)/ {(5/6)M}=(1-7/24)(6/5)h=(17/20)h.

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