幾何分布の平均と分散

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幾何分布の平均と分散
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パラメータ p の幾何分布 (0 < p < 1):
pX (k) = P (X = k) = p(1 − p)k−1 ,
k = 1, 2, 3, · · ·
2
について、この平均 µX と分散 σX
を求めなさい。
µ
´
P
2
（解）期待値の定義から、平均 µX = EX = k kpX (k) および分散 σX
= E[(X − EX)2 ] =
P
E(X 2 ) − (EX)2 = k k 2 pX (k) − (µX )2 を計算すればよい。このためにはべき級数の和を求め
る計算が必要である。つまり |r| < 1 のとき、
(i) 1 + r + r2 + r3 + · · · =
P
k=0,1,2,···
(ii) 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + · · · =
(iii) 2 + 3 · 2r + 4 · 3r2 + · · · =
rk =
P
1
1−r
1
(1 − r)2
k=1,2,···
krk−1 =
k=2,3,···
k(k − 1)rk−2 =
P
2
(1 − r)3
これをもちいると、初項からの始まりがインデックス k = 1, 2, · · · であることに注意して µX =
P
P
1
1
k−1
= p k=1,2,··· k(1 − p)k−1 = p × 2 =
k=1,2,··· kp(1 − p)
p
p
P
2
また分散の計算のばあいは σX
= EX 2 −(EX)2 = E[X(X−1)]+EX−(EX)2 = k=2,3,··· k(k−
1
1
1
2(1 − p) 1
1−p
1
1)p(1 − p)k−1 + − 2 =
+ − 2 =
となる。よって平均は µX = で、分散
p p
p2
p p
p2
p
1−p
2
=
は σX
となる。
p2
Notes:
(1) 期待値を求めるには、密度関数 pX の代わりに、分布関数 FX (k) = P (X ≤ k) =
(注意：確率事象には不等号！) をつかってもつぎのように求められる。
µX = EX =
X
k
(1 − FX (k − 1)) ,
2
σX
=2
X
Pk
j=1
pX (j)
k (1 − FX (k)) + µX − µ2X
k
(2) 一般にモーメント母函数 φX (t) = E[etX ] = E[exp(tX)] により、この導関数のゼロにおけ
dφX (t) ¯¯
る値が平均つまり、
= µX であり、２階導関数のゼロにおける値は、平均の２乗と分
¯
dt
t=0
2
d φX (t) ¯¯
2
となる。
散との和に等しい、つまり
= µ2X + σX
¯
dt2
t=0
問上の幾何分布のばあいについて、成り立っていることを確かめよ。

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