数学 B
第４講数列（ⅳ）
【問題 1】
次の和を求めよ．
50
（1） å
k =1
19
1
k +1 +
n
k
（2） å
k =1
1
k !( k + 2)
【問題 2】
数列 a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……に対して
Sn = a1 + 2a2 +  + nan =
n(n + 1)(4n - 1)
6
が成立しているとする．
（1）この数列の第 n 項 an を n を用いて表せ．
（2） a11 + a12 +  + a20 の値を求めよ．
20
【問題 3】
初項から第 n 項までの和 Sn が n に関する 3 次の整式 Sn = n3 + pn2 + qn + r で与えられる数列
{ an } がある．
（1）数列 { an } の一般項を求めよ．
（2）数列 { an } の階差数列 {bn } が等差数列になるための定数 p ， q ， r に関する条件を求め，
また，そのときの階差数列 {bn } の初項と公差を求めよ．
21
数学 B
第４講数列（ⅳ）解答
【問題 1】
次の和を求めよ．
50
（1） å
k =1
1
k +1 +
n
k
1
k +1 +
（1）
（2） å
k =1
k
=
=
1
k !( k + 2)
( k +1 - k)
( k + 1 + k )( k + 1 - k )
k +1 - k =
( k + 1) - k
k +1 - k
であるから，
50
1
k +1 +
å
k =1
50
k
= å ( k +1 k =1
k)
= 51 - 1
k +1
1
（2）
=
= k +1
k !( k + 2) k !( k + 1)( k + 2) ( k + 2)!
ここで， a - b
= k +1
( k + 1)! ( k + 2)! ( k + 2)!
とおき，分母を払うと
a( k + 2) - b = k + 1 より a = b = 1
1
1
\
= k +1 = 1
k !( k + 2) ( k + 2)! ( k + 1)! ( k + 2)!
n
{
}
n
1
1
1
1
=å
- 1
= 1 =1( k + 2)!
2! (n + 2)! 2 (n + 2)!
k =1 k !( k + 2)
k =1 ( k + 1)!
\ å
22
【問題 2】
数列 a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……に対して
Sn = a1 + 2a2 +  + nan =
n(n + 1)(4n - 1)
6
が成立しているとする．
（1）この数列の第 n 項 an を n を用いて表せ．
（2） a11 + a12 +  + a20 の値を求めよ．
n(n + 1)(4n - 1)
( n ≧1 )
6
(n - 1)n(4n - 5)
( n≧2 )
Sn -1 = a1 + 2a2 +  + (n - 1)an -1 =
6
から， n ≧ 2 のとき
n(n + 1)(4n - 1) (n - 1)n(4n - 5)
Sn - Sn -1 = nan =
= n(2n - 1)
6
6
\ an = 2n - 1
n = 1 のとき S1 = 1 × 2 × 3 = 1 ， a1 = 2 × 1 - 1 = 1 より S1 = a1
6
よって，求める数列 { an } の一般項は an = 2n - 1 (n ≧1)
（2）
（1）より数列 { an } は等差数列だから
（1） Sn = a1 + 2a2 +  + nan =
a11 + a12 +  + a20 = 21 + 23 +  + 39 = 10 (21 + 39) = 300
2
23
【問題 3】
初項から第 n 項までの和 Sn が n に関する 3 次の整式 Sn = n3 + pn2 + qn + r で与えられる数列
{ an } がある．
（1）数列 { an } の一般項を求めよ．
（2）数列 { an } の階差数列 {bn } が等差数列になるための定数 p ， q ， r に関する条件を求め，
また，そのときの階差数列 {bn } の初項と公差を求めよ．
（1） Sn = n3 + pn2 + qn + r より， n ≧ 2 のとき
an = Sn - Sn-1
= n3 + pn2 + qn + r - (n - 1)3 - p(n - 1)2 - q(n - 1) - r
= 3n2 + (2 p - 3)n - p + q + 1
n = 1 のとき a1 = S1 = p + q + r + 1
まとめると
an =
{
p + q + r + 1 ( n = 1のとき)
3n2 + (2 p - 3)n - p + q + 1 ( n ≧ 2のとき)
（2）
（1）の結果より
b1 = a2 - a1 = 12 + 2(2 p - 3) - p + q + 1 - ( p + q + r + 1)
= 2 p - r + 6 …①
n ≧ 2 に対して
bn = an+1 - an
= 3(n + 1)2 + (2 p - 3)(n + 1) - p + q + 1 -{3n2 + (2 p - 3)n - p + q + 1}
= 6n + 2 p …②
②より， n ≧ 2 においては， {bn } は公差 6 の等差数列である．したがって， b2 - b1 = 6
であれば，数列 {bn } は等差数列になる．
①，②より b2 - b1 = 12 + 2 p - (2 p - r + 6) = r + 6
だから r + 6 = 6 \ r = 0
また，そのとき，①より b1= 2 p + 6
以上をまとめると
p ， q ， r の条件 r = 0
初項 b1= 2 p + 6
公差 6
24