A 4編
A4-'52
第 5章
材料力学
で 表 さ れ 、 係 数 m は 漸 変 断 面 部 の 形 状 (ν=1:板厚が一定
で幅が直線的に変化，レ =3 幅 が
1
.0
1
'
定で板厚が直線的に変化，
。『¥(ご。つ
4・7・2 一 様 強 さ お よ び 最 小 重 量 の 長 柱
で求められるー
0
.
8
1
2
5
レ
ニ 4 円すい形〕に応じて表 25 から求められる
7 におい
図 7
て A二O の場合、レ =0.93 で一様強きの長柱 (column having
12..
0
.
6
0
.
4
T口 二
0
.
2
一定の場合，たわみ却が満たすべき次の基礎方程式を得るー
れ れ
ν
'
i
e
f
l
e
c
t
i
o
nr
a
t
i
o
)(
b
u
c
k
l
i
n
gd
)
/
10は ば ね の 自 由
10-1，
7 ソン比
断変形の生じ方は柱の内部構造により異なり，これを考慮した
8
)，
件にたいする限界圧縮たわみ比が求まり〔図 7
k-
P
k
l
' I工衣 P，
/
S
)ー 1
P，
，
2P
/
S
Sはせん断こわき ， P食は曲げこわき Bのみを考慮し
た オ イ ラ 一 座 屈 荷 重 が Bi
l
' で，常に
p，
/
S値 が Oに近づくにつれて Pザ は
戸
l
u分J')記聞 l
i -h2~h!2
(n= 1
)の 場 合 九
1 d r dr
1 d(dw
け1 P
rd
r
L
'drlr d
r
¥
'drJJI D
Txy=fTxyzdz
とくに P が一定値の場合，その一般解は
c
.1
イ Tndz
2+
r
'+C
，
)
l
nr+C3
r
町二土iAr'+(C，
Dl64'
~'J
r
r
z
d
Z，Q
f
である
ただし， σ"σe 半径応力および円周応力噌 M" M。 円 周 面
板が荷重を受けてたわんだ
および半径面に働く曲げモ
.
0
4
6
) の場合 10/r<7.5
O
，
一端固定，他端匝転端 (nニ2
i， 曲 げ 応 力 山 町 内 お よ び
とすれ l
数で、その値は円板の周辺条件，接続条件などから決定きれ
0.
n 4) の 場 合 1
4
8 となるコイルばね
0/r<1
定端 (
に比例し
2xY
は中立面からの距離
I
nは自然対数を表す
る
これらの応力はモーメン卜およびせん断力から次式
メン卜，
C" C
" C3， C， 積 分 定
後も板刀横断面が平面を保ち、中立面に垂直な位置をとるもの
三
P，>P，/>Pげであり，
P
k
l
'に漸近する.
イルが密着するまで座屈しない.
表 2
6 円板のたわみと曲げ応力
4・9 薄 肉 材 よ り な る 柱 の 座 屈
1節を参照きれたい
組立柱については，なお 7・
4・
8・
2 せん断および圧縮変形の影響を受ける場合
zイ ryxzdz，Q
1
I~jlo )
:，
.
4
く ) 記7
面すなわち，両端回転端
，
P， 1+(P
'
S
)
ここに，
ι
1=foxZ々，Mイ
が
命
、
なお前々式右辺の根号内が負:
より求まる
(
1
6
3
)
P
k
2
'
た わ み 却 の 基 礎 方 程 式 は ，D が一定の場合，
、
図 8
0
)， との曲げモーメン卜，ねじりモーメン卜およびせん
l
断力ほこ H らの応力の合成モーメン卜および合成力であるから
マ
;
;
¥
つ
;
)
6
4
i
r
3
1
図 8
0 応力成分
面に
作用する垂直応力およびせん断応力を σy噌τY
X，T
Y
Z とすれば
P，はこのたわみ比と 3・5 節のコイルばねのた
f
.
'
G
，
P.= t
τxz，Y
(図中
薄肉材よりなる柱の座屈問題の定式化については
圧
縮コイルばねやゴム製長柱などの軸圧縮による座屈では可曲げ
(
8
4ベ
変形とせん断変形のほかに，圧縮中の柱の長きの減少やこわき
s・2 (90 ベ
シ〕を，壁面座屈や曲げねじり座屈につい
ジ〕を参照きれたい.
E
i
l
:i最大応力を示す.応力式の慢号は，上が上面、 下が下面を表す I
nは自然対数可*E
nはポアソン比レ二 0.3のときの 1
直を表す)
たわみ W，Wmax および応力 σ，σmax
荷弔;状態とたわみ形および下表面の応力分布
円佼，周辺単純支持，等分布荷重
叩
二
お(
1
-:
:
)(岩手)
=(W)，
eo=c(~，土βど~=0.696 pa •
64(1+シ)D .
.
.
.
. Eh3
4
第 5章
平
板
の 曲 1
1
σ
きく，板が面内荷重を受けなければ，板の中央面は
5・1 横 荷 重 を 受 け る 平 板
a. 曲げの基礎式
p
l
a
t
e
) 面 と 任 意 の F面 (y軸 に 垂 直 な 断 面 〕 お よ び
方法できざえられ，その上
交線の曲率半径をそれぞれ ρ町 内 と L，かつ Mx，
面に単位面積当たり pなる
および F面 に 作 用 す る そ れ ぞ れ y方 向 お よ び z
垂直荷重を受けると，板は
x
当たりの曲げモ←メン卜司 T;
r
y
， Ty
たわむ
するそれぞれ y方向および
板の両表面から等
Z
X
z
方向単位長き当たりのね
ーメン卜 ，Qx，Qy :x 面 お よ び y面 に 作 用 す る そ れ
面と L，これに垂直に z軸
方向および
をとり ， z軸方向の変位す
9
)， そ れ ら と た わ み 即 の 間 に は 次 の 関 係 が
ば(図 7
なわちたわみを却とする
ただし ， zお よ び 即 は 荷
重の向きを正とする.板の
たわみが板厚にくらべて小
Tx!/
T
y
x
Qy
9 作用する荷重
図 7
(
6
6
)On
e
.，Mem. C
y
u
s
h
uI
m
p
.U
n
i
v
.，1
(
1
9
1
9
)
o
l
l
.E
n
g
.，K
，A
，
1
9
6
3
)，
8
0，McGr
M
e
c
h
a
n
i
c
a
lS
p
r
i
n
g
s，2
n
de
d (
6
8，2
a
w
守
方向単位長さ当たりの z方向せん断力，
即
o
'
五
即
o
'
百子
p
y
ay"
¥
l
o
'
o'w
一三+レ
MT
DI
l
ι =¥ox' "oy'J
刊
(
6
7
) 強度設計データブソク， (
1
)，5
7
2、裳華房
昭4
2¥
r
・
O
3(3+シ)
p
a2 _
， n，p
a2
amax=Cσ 山ー0=作 品 。 = 平 一 五2 一-41243E-
円仮，周辺固定，等分布荷重
面および y
距 離 に あ る 中 央 面 を xy
Z
，/.
h
i
(
この中立面の呈する曲面すなわちたわみ
板 厚 hの一様な薄い平板がなんらかの
3
p
a
2
"
.
.
"
，=平 ~8h2( 3+")~ 1-;
;
2
)
3
p
a2，
(n
. ， n . n"r2)
σ。=平、 ， 3+ν〕ー(1+ν
3〕云 J
縮 が Oである中立面となる
1・
1 平板の弾性曲げ (bending o
fp
l
at
e
)
5・
L 五均一ム ω
四
とコイルは接触 Lな い も の と す る . ま た ， 上 式
2・
1 の座屈長き 1
わりに 4・
/n を用いれば，
0
/、
口
、
メン卜およびたわみの関係を示すと
Lf+
up column) は 一 般 に せ ん 断 変 形 Lや す い の で ， こ れ と 同 じ
曲げこわさと細長比をもっ中実柱より座屈荷重が小きい.せん
"
，
字 dx，
ZZ
)
'
)
/1-2
7.
(
r
/
lo
、
46
ここで，コイルばね素線は円形断面とし，座屈開始ま
とおりがある
σ2"
直応力およびせん断応力
，
O をとって応力とモ
σσ
)
ー
表きれる L叫
P
.
'計 算 式 に は 次 の こ
σY
また ι面に作用する垂
MM
3) より導かれ
16
コイル平均半径を r とすれば，式 (
門板がその中心に対して対称、形の垂直荷重を受
け、軸対称形のたわみを生ずる場合には、中立面内に極座標 r，
ポ
1717
とカ 1できる '67:
b 円板
4ご
噌
舎内下
E 縦弾性{系数ーレ
u
r
a
lr
i
g
i
d
i
t
yo
fp
l
a
t
e
)
立vh口
P/
刊に対して最小重量条件を定めるこ
た断面形状と比荷重 (
プ
7
ロ
一 un 口
一 un
有効巻数の多い，両端回転端の密巻円筒コイルば
長き仁両端回転端の長柱の座屈荷重
】
1
反J
J曲げ剛性 (
f
l
e
x
.
p口ng) が 座 屈 す る 際 の 限 界 圧 縮 た わ み 比
d
r
i
c
a
ls
b
u
i
l
t
4・
1 せん断変形の影響を受ける場合 (63J 組 立 柱 (
8・
o
'即 ，
o
'即 P
'
I 64即
y
' D
o
x
' ' ox'oy' o
L Dニ Eh3 1
2(1
はるかに有利である.なお壁画座屈荷重を考慮 Lて，与えられ
/
10=0.8125{1
(
10-1)
メン卜およびせん断力
町
円~
P
4
1
，2¥2
p
a
'ん
.._.ー
1
64D¥' a'!
on'
・
=0.171-:.~
ー
ax=C 叩〕戸 0= 三二一
64D....' 3
Eh
21
'
3
p
a
' '"
，，
σ，=+、 2 r
1+ν)-(3H);
;
2[
h (
1
(
81
、
n
2r
.
.
2
+
レ )-(1+3ν 〕主卜
)
;
2 1
"
σ，=平 の
3pa2 .r. "，，-r.pa2
x=(σr)r=a= :t~;-，~= :
.750
:
tO
4
h
'
I
'
:
•
→
t4llI
の変化をも考慮しなければならない
座屈荷重
E
HA?
8 コイルばねの座屈
図 7
(ただ L， nは固定係数で 4・2・1参照のこ
4・
8 せん断変形および圧縮変形の影響を受ける長柱の
6I
h
' ，，\~
h
' ，\~
6I
ー--z-!
，Tyz=~I----.--z~
x，
!
，
.
!
J
!
記
"
!
"
X
'YZ-h3¥4 4)
h3¥4 ')
に 関 す る つ り あ い 方 程 式 を た わ み 却 で 表 す こ と に よ り ，D が
1
0
/
νInr
Lかも 7・5・2 の 壁 画 座 屈 や 曲 げ ね じ り 座 屈
_
二
畑
メントをもち、
1
2
‘
また，上の曲げモーメン卜、ねじりモ
1
0
る 一 定 断 面 の 長 柱 の 87 %の体積となるが(此，最小重量とい
を生じない限度の断面形状と断面寸法を選ぶようにするほうが
1
2
1
r
1y
x
y ，T
百"3Z
;
:
;
:
sZlV1x，σy三
p
;ZlXY
σx=
t
r
e
s
s
) となり，同一荷重をききえ
c
o
n
s
t
a
n
t maximum normal s
う見地からは，断面を薄肉にしてなるべく大きな断面二次モー
A4-53
平板の曲け
P
Ir i
第 5章 平 板 の 曲 げ
A 4編
A4-54
τ
7
ー
「
荷重状態とたわみ形および下表面の応力分布|
「
円仮，周辺単純支持，中心に集中荷重
P
四一坦5-3+-"-(，ーヱ'-)_2r~ln~f
←
:
心6
π Dl1
+ν¥ a2/ a~ r)
円板，周辺単純支持，同心輪形荷重
〆
E
戸
(
ο
1叫 nf
，
子
=
+
平
去
恭
詐
か
σ戸
戸
戸
Y
ων
h
(川
仙
σ
内ρ
Y
山片
〕r
，=
ドo
門
ベ
=
=
(a
伊
(
σ
a
ρ
e
山
ル
μ
)
，
，
戸
，
=
.0
=
下画
1
戸去恭沖(い
山
ο一
→
吋
の
ν
刊)+川 l寸
引)
， 戸平若干{(1け(1-!:)+叫め lnf}
σ=
σ
(
i
i
) b亘r孟a
:
2
b
l
i 2
叫
|
.
.
f
→
+
、
下函
四
=
お
(
〔3 + ; i t J Y 2 ( 1 3 ) 4三 ln-H
-
。
没
たわみ叫肌，叫山
n
(
九(ω
り〉住
i
己
γ
叫
亘
計b
:
:
P
一」主丘竺
L=0551fι
・
3
四 max=(W) ， ~o= u
i
π
(1
+ν)D
-_._-~ Eh
A4-55
σ" J汽y
，
.
.
.
- /σT
0
"
'
"
一
一
一
一
一
一
一-'0
叩
=
£
蒜
吉
[
日
(
←1+志
缶
試
討
(
←1 f
芸
軒
L
引
判ト
ト
1一
引
云
f
お
L
り
)
σ
(
ο
1一
→
叫
吟
ν
)
(
得
与一
f
号
お
;
わ
)+2山 )
l
n;
}
叫
い
，
戸
=
+
平♂
子
ぺ
ヰ
巾
(
か
い
σ，
=
手
五
，
{
(
1
叫(
2
-与号)は (1山 引
ι
ι
Pn2
印 刷
引司叩)月氷別ト}(川炉(
・
x=(日 )'=0=α7
示，-.(α7:図 81)
μ.
σmax=(σ 山 一 =
(
σ
ル=ト，=判7"h2 '(s7 図位)
円板，周辺固定，中心に集中荷重
I~ ， <)1~~\~ì
円板，周辺固定，同心輪形荷重
一
一
一
六 1-(1+21n-)--ノ:-a;"-f
一1
6
πD l ¥ r
)
Pa2
P
(.
w
=
:
:
-
"
，
1
7W
世 max=( 的 ~o= 1~;D =O.2
・
i
ωY
ド
，
=
.0
=
r
血
下面
"a .
.
1
3P (
，
_
σ
向戸
Y=
平蒜
E
芸
寺
和
バ
E
出
ド
巾
{
(
ο
似
1
1+
山
4
T1
寸
ア
-
〆 、
川
。
判
円板，周辺単純支持，同心円内に等分布荷重
=σ
3P _
_ .1b
，=平
(1
+ν)(¥ω
一
τ+21n'
e
ー 1)
Z州
内
)
2
¥
~
(
i
i
) b亘r豆a:
ー
四=旦'-f.U ， ↓ !:'-V
，_~\_!::..士竺 In ~ì
8
πD I
2¥~. a2八
a
2J
a
2
rr
A
山
2
.1 b
3P (
.
¥
b
2
，
=
平
石
/
;
2l
(
1
+
川 :2+21n7}+(
1 の主 2}
、
み
3P (
1b
σ，
=
平
示
五2
((
1+川云 +21n引一 (1ーめす一引
σ
2
2
¥
品 川
町
max=(W).
，=
o=α'
W
-'(的:図 81)
pb' (
r
'
坐と♀ _")b ~-(2三 +1 Iln手
十
¥
が ノ
b
_2 ;
T
.f
、
(1+制下J
←平笠竺 ~4( 1+ ν) l
n与+4ー (1ν 〉
宇
一 (3+ν)
8h 1
'
2
一
σ凋=平旦巴~4(
，
. 8h2 1-'1+の ln 与 +4 ー (1 ー ν〉手
'(s，
:f
'
i
)
8
2
)
P'
bfa>0.320のとき σmax=Cσ 山 =a=:
t
:ss
';
'
2 • (ss
' 図8
2
)
2
b2
μ.
bfa<O.却のとき σmax=(σ 山=日 =(σルー=吋 '~2
(
i
) O~玉 r~玉 b:-
世=函Dl
厄，- 2
(
1
+
ν)
a
'
円輪仮，外周単純支持，内周に輪形荷重
_2
Pn2 (
2 ¥ ¥ 川
四 =8お j (1 +A)(I-~)-(B+ 王子 )ln 引
7"
ノ
、/ ワト
(
i
i
) b~五 r~玉 a 一向、『
2¥
l
2
(
1
+ν〕¥ rノ 、
σ ，=ジ些~4(1+めlι+(1
め(~22 -1)予
8h 1，
r ¥
16D
a¥
3P (
._
_
.1 .
3P (
._
_
.1. . a¥
_a2い
，=平五示[2(1+ν)(A+ln7)ー(1ー
の(I-B云)
f
σ
a寸
町-~竺I~土--c.ú-~ìi2(山〉主ー (1 一川一 (1 十三τ)ln干」
5
:
.
.
.
Jlん が ¥ / 唱 r2¥ b2
+
r
2 .a)
8
πD
(
2
¥
'
;
;
;
-)\~-r~ )--a2-l
l
l
b
J
四}主
Pa2
P2
(
i
) 0 亘 r~b:~
ι
_a2
，
=
手
五
/
;
2j2(1+ν)(A+ln7)+(1 ーの (I-B~2)¥1ト
σ
2
，=平 ~~214(1+めln三一
(1 ー νぽ +1 )
手4
r
8h2 L，
r ¥
ただし
r
~
町田刊一長
σmax=川
円板，周辺固定，同心円内に等分布荷重
347仙 図82)
?
1
寸
ア
グ~:
o
・
max=C叫 吋 =α9示2 • (α9 図8
3
)
μ.
，I
σmax=Cσ 山 =b=吋 9
古， (ん:図 84)
| σ
(
i
) 0 豆 r~五 b:ー、
Pn2
日
Ge/ I
=
0
=
(
σ山 = 平
0 J
← Ø'-!~ 一三十手_(1+
ln~-~f
。2'1.2-¥ 伊判r
-h 41
16D14
b
'
6
α5: 図 8
1)
A=.
，1
三L +
L ln三b' B=-~旦士"2.._土工
ln~
2
(
1
+ν ーa土
- ーν
a2
_b2
ーが
1+
~a'
¥
円輪板，外周固定，内周に輪形荷重
(1+の(手+4 1n~) 一 σ+ν〉予)
σ戸平等{
四
， σ"σe は No.9 の 式 と 同 形 た だ L
日 書((1+ν)(手+4寸)-山〕云)
(
i
i
) b:
玉r
;
;
玉a
:
ー
町=誌 {
(
1
-::)長一手一(1+与)片+-t}
σ
7
4
3
子(川(山手+手)山〉与 }
4
Pn2・
四
)
，
=
， =α10ニヱ
，. ，
(
α
1
0
: 図8
3
)
x=(
，=平等{(1+の(41nト会)-(1吋芸ーむ)
百四〉同=α6長子，同:図 81)
b
f
a<O
.
3
8
5 のとき
ma
~.2 ・
b
f
吋
5
6
9 のとき
bfa>0.569 のとき
σmax=Cσ ， ) 戸 内 山 = 吋eJF ， (ん・図 8
2
)
σmax=Cσ ん
(
6
9
) Tim田 h
e
n
k
o，5
.P
.a
n
dW
o
i
n
o
w
s
k
y
K
r
i
e
g
e
r，5
.，Theory ofPlates aTldS
h
e
l
l
s
.
.2
n
d吋，
ム2
B=-. _ 2
b ( _ _ •. a _1
(
1_ ν
")
'
¥
n
2
.
.
:
.
.
r
'
.
.
.
.
J
，
.
.
.
")
'
¥
1
.2
(
I+
ν
).
l
nbー 1
卜
2
2i
(
1
ー
a
+
(
1
・
+
ν
b
l'~
.
，
~J
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