6/4 講義予定収束半径の計算 ([1] p.192, [2] II p.133, ) ∣ ∣ ∣ ∣ an

6/4 講義予定
収束半径の計算
([1] p.192, [2] II p.133, )
an+1 = l (あるいは limn→∞ |an | n1 = l) が存在すれば、r = 1 , (l =
limn→∞ an l
0)，r = ∞, (l = 0)。
an+1 xn+1 < 1. よって an xn → 0(n →
[証明] |x| < 1/l とすると、limn→∞ n
a
x
n
an+1 xn+1 > 1 だから、|an xn | → ∞(n → ∞)。
∞), x > 1/l なら、limn→∞ an xn 例
∞
∞
1
xn
n n x
(−1) x , e =
=
.
1 + x n=0
n!
n=0
巾級数
∞
an xn の微積分。([1] p.193, [2] II p.134-136, [3] p.233-242.)
n=0
定理 r を巾級数
an xn の収束半径とする。このとき、次がなりたつ。
n=0
∞
an n+1
の収束半径も r である。
x
n
+
1
n=1
n=0
∞
2．−r < x < r に対し、関数 f (x) を f (x) =
an xn で定めると、f (x)
1．巾級数
∞
∞
nan xn−1 ,
n=0
は −r < x < r で微分可能であり、
∞
n−1
f (x) =
nan x ,
log(1 + x) =
0
x
1
dx =
1+x
2
f (x)dx =
0
n=1
がなりたつ。
例
x
3
x
0
4
∞
n=0
5
∞
an n+1
x
n
+
1
n=0
n n
(−1) x
dx =
6
∞
n=1
(−1)n−1
xn
n
x
x
x
x
x
+
−
+
−
+··· ,
= x−
2
3
4 5
6
x
x ∞
∞
2n+1
1
n 2n
n x
Arctanx =
dx
=
(−1)
x
(−1)
dx
=
2
2n + 1
0 1+x
0
n=0
n=0
x3 x5 x7 x9 x11
+
−
+
−
+··· .
= x−
3
5
7
9
11
1
[証明] 1．r を
∞
nan xn−1 の収束半径とする．
n=1
(1) |x| < r なら，nan xn−1 → 0(n → ∞) であることと，
(2) |x| < r なら，an xn → 0(n → ∞) であること
をいえば十分である．(2) を示す．|x| < r なら，an xn−1 → 0(n → ∞) だか
ら，an xn → 0(n → ∞) である．(1) を示す．|x| < t < r なら，n ≥ N なら
|an tn | < 1 がなりたつ N があり、
|nan xn−1 | ≤ n(
|x| n−1
) t → 0 (n → ∞)
t
2．fn (x) = nk=0 ak xk とおく。
連続。|x|, |a| ≤ s < t < r とする。n ≥ N なら |an |tn ≤ 1 となるように N
をとる．n ≥ N とすると、
|f (x) − fn (x)| ≤
≤
∞
|ak xk | ≤
k=n+1
∞ k=n+1
∞
|ak |sk =
k=n+1
∞
k=n+1
|ak |tk
s k
t
s k s n+1 1
=
(= εn とおく)
t
t
1 − st
がなりたつ。x = a についても同様。よって
|f (x) − f (a)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |f (a) − fn (a)|
≤ |fn (x) − fn (a)| + 2εn
よって、
lim |f (x) − f (a)| ≤ 2εn → 0 (n → ∞).
x→a
証明のポイントは、不等式
|f (x) − fn (x)| ≤ εn
が x によらずになりたつこと。これがなりたっているとき関数列 fn (x) は f (x)
に一様収束するという。
2
[巾級数の微積分の定理の 2 の別証明]
an (xn − an )| ≤
|an ||xn − an |
|f (x) − f (a)| = |
n
= |x − a|
n
|an ||x
n−1
+ xn−2 a + · · · + an−1 |
n
≤ |x − a|
n|an |tn−1 → 0 (x → a)
n
微分可能。g(x) =
∞
nan xn−1 とおく。|x|, |a| ≤ t < r とする。
n=1
f (x) − f (a)
xn − an
− g(a) =
− nan−1 )
an (
x−a
x−a
n
an ((xn−1 − an−1 ) + (xn−2 a − an−1 ) + · · · + (xan−2 − an−1 ))
=
n
= (x − a)
an ((xn−2 + · · · + an−2 ) + (xn−3 a + · · · + an−2 ) + · · · + an−2 )
n
だから、
n(n − 1)
f (x) − f (a)
≤ |x − a|
−
g(a)
|an |tn−2 → 0
x−a
2
n
3
(x → a)

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