（第３時限：１００分）２０１４年度 ! 数学（理問題系）（全４ページ）注意事項１．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。２．問題文のにあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄に記入しなさい。３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。 ! （Mab ）数学次のⅠ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳの設問について問題文のにあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 # a を実数とし，定点 P ( a，−２a２ ) と３次曲線 C ：y ＝ x３ −３x２を考える。〔１〕曲線 C 上の点 ( t，t３ −３t２ ) における接線の方程式は y＝アであり，この接線が点 P を通るための必要十分条件は t が方程式 $ & % 't ＋ウ t − エ＝０ ……! を満たすことである。!の左辺を t の関数と考えて g( t ) とおく。このとき，２t３ −３２イ導関数 g ′ ( t )は $ & % 'g$ & g′ ( t ) ＝６ t − $ & であり，g オ $ & g オオ %'$& t − カ %' %'を a の多項式として因数分解すると % 'g$ & カ %'＝キカとなる。〔２〕点 P から曲線 C に３本の接線が引ける a の範囲は a＜ク，ク＜a ＜ケである。 ― １ ― " （Mab ） " 曲線 C ：y ＝ log x 上に点 P０をとり，その x 座標を p とする。ただし，対数は自然対数とする。P０における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q１とすると，Q１の y 座標はコである。Q１を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P１とすると，P１の x 座標はサである。次に，P１における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q２とし，Q２を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P２とする。この操作を続けて，y 軸上の点 Q１，Q２，・・・， Qk ，・・・と曲線 C 上の点 P１，P２，・・・，Pk ，・・・を定める。このとき，点 Qk の y 座標はシ，点 Pk の x 座標はスである。２直線 Pk−１ Qk ，Qk Pk と曲線 C で囲まれた図形の面積を Sk とすると S１＝セ，Sk ＝ソ Sk−１ ( k ≧２)， " !S＝ !!! k タである。 ― ２ ― ! （Mab ） " a ＞ 0 として，関数 # % １ a f ( x ) ＝２a − ２ $ &cos x ＋６cos x sin x ＋#% a − a$&sin x ２２を考える。f ( x )を cos２x，sin２x を用いて表すと f( x) ＝ cos２x ＋チツ sin２x ＋テである。f ( x )の最大値を M ，最小値を m とすると M ＝ト，m ＝ナである。０≦ x ≦ π の範囲における，x についての方程式 f ( x ) ＝ M の解を x１， f ( x ) ＝ m の解を x２とすると， cos x１＝ニ，cos x２＝ヌ，x１ − x２＝ネである。a を変化させるとき，積 Mm のとりうる値の範囲は Mm ≦ ノである。 ― ３ ― ! （Mab ） " １個のさいころを４回投げて，出た目を順に X ，Y ，Z ，W とする。 X ＝１となる確率は Y た，ハ X が整数となる確率は Y であり，フホである。ヒである。まである。 X Y ＝１かつ＝１である確率は Z W る確率は X ＝２となる確率は Y へである。 X Y １＝２かつ＝であ Z W ２ X Y １ X ３＝３かつ＝である確率および＝かつ Z W ３ Z ２ Y ２＝である確率は共に W ３マである。 XY ＝１である確率は ZW ミである。（注：全て既約分数で答えよ。） ― ４ ― ! （Mab ）