(第3時限:1
0
0分)
2
0
1
4年度
!
数
学
(理
問
題
系)
(全4ページ)
注 意 事 項
1.試験開始の合図があるまで,この問題冊子の中を見てはいけません。
2.問題文の
にあてはまる適当なものを,解答用紙の所定の欄
に記入しなさい。
3.解答用紙1枚・下書用紙2枚は,この冊子の中に折り込んであります。
4.試験終了後,問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。
!
(Mab )
数
学
次のⅠ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの設問について問題文の
にあてはまる適当なものを,
解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
"
k を3以上の自然数,C0 を半径1の円とする。C0 に内接する正 k 角形を P1 ,P1
に内接する円を C1 とする。すなわち,P1 は k 個の頂点すべてが円 C0 の周上にあ
る正 k 角形であり,C1 は P1 の k 個の辺すべてに接する円である。以下同様に,
n =2,3,4,・
・
・ について順に,Cn−1 に内接する正 k 角形を Pn ,Pn に内接す
る円を Cn とする。また,すべての自然数 n について,Pn の1辺の長さを an ,Pn
の面積を Sn とする。
〔1〕 k =3のとき,a1 =
a1 =
ウ
,S1 =
ア
エ
,S1 =
イ
である。
〔2〕 各自然 数 n に 対 し て,an:an+1 =1:
が成り立つとき,k =
〔3〕
"
! (S
!!!
2n−1 −
S2n ) =
である。k =6のとき,
カ
キ
オ
で あ る。ま た,
である。
S1 であり,lim
k →∞
キ
S1 =
ク
"
!S
!!!
n
=k
である。
― 1 ―
!
(Mab )
"
a を1でない正の数とする。関数 f ( x ),g( x ) を次で定める。
f ( x ) = a x + a −x ,g( x ) = a x − a −x
〔1〕 f ( x ) は x =
lim
x →∞
g( x )
=
f( x)
〔2〕
ケ
のとき最小値
コ
をとる。また,a <1のとき,
g( x )
=
f( x)
シ
である。
, lim
サ
x →−∞
! f ( x ) " −! g( x ) " =
ス
f( x + y) =
セ
f( x) f( y) +
ソ
g( x ) g( y )
g( x − y ) =
タ
f ( x ) g( y ) +
チ
g( x ) f ( y )
2
2
ス
が成り立つ。(注:
∼
チ
には x,y を用いない数値を入れるこ
と。
)
〔3〕 f ″
( x ) = f ( x ) が成り立つのは,a =
"!
t
数 t に対して
!
4+ f ′
(x)
" dx =
2
ツ
のときである。このとき,実
テ
である。
0
― 2 ―
!
(Mab )
"
!
!
座標空間において,3定点 A (1,0,0),B (0, 2,0),C (0,0, 3)
をとり,これら3点から等距離にある点 P ( x,y,z ) をとる。このとき,y,z は x
を用いてそれぞれ
y=
ト
,z =
ナ
と表される。点 P が3点 A ,B ,C の定める平面上にあるのは
x=
ニ
,y =
ヌ
,z =
ネ
のときである。
点 P は PA = PB = PC を満たしながら動くものとする。このとき,P を中心と
し PA を半径とする球が xy 平面と交わってできる円の面積を S とする。S は x を
用いて S =
ノ
と表され,x =
ハ
のとき最小値
ヒ
をとる。
― 3 ―
!
(Mab )
"
a を実数とする。曲線
C :y = x3 + (3− a ) x2 −3x + a −2
は a の値にかかわらず,2点
P
#
%
フ
,
へ
$,Q#
& %
ホ
,
マ
$
&
を通る。
直線 PQ と曲線 C が P,Q 以外の共有点をもたないのは,a =
a=
メ
である。
点 P における曲線 C の接線と点 Q における曲線 C の接線は a =
#
%
き点 R
または
のときであり,どちらの場合も直線 PQ と曲線 C で囲まれた部分の
ム
面積は
ミ
ヤ
,
ユ
$
& で交わる。a =
モ
モ
のと
で a が変化するとき,点 R
の軌跡は曲線
y=
ヨ
である。
― 4 ―
!
(Mab )