n 1

数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学A ･数学B)
１
(1)　1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけたカードをそれぞ
れ k 枚用意したのであるから，用意したカード全部の枚数は
n
P k =
k=1
(2)　N =
1
n n +1 1 (枚 )　… [答 ]
2 0
1
n n +1 1 とおく。 2 枚のカードの引き方は全部で N C 2 通り。
2 0
(i)　2( k ( n のとき
引いたカード 2 枚の番号が両方とも k であるような引き方は k C 2
通りであるから，求める確率は
k0 k - 1 1
C
2
k k-1 1
k 2
=
= 0
N0 N - 1 1
N0 N - 1 1
N C2
2
=
k0 k - 11
1
1
n0 n + 1 1 n 0 n + 1 1 - 1
2
2
>
?
4k0 k - 1 1
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
(ii)　k =1 のとき
=
引いたカード 2 枚の番号が両方とも 1 であるような引き方は 0 通り
であるから，求める確率は 0
(i)， (ii) より，求める確率は
4k0 k - 1 1
… [答 ]
0 n - 1 1n0 n + 1 10 n + 2 1
(3)　引いたカード 2 枚の番号が一致する確率は， (2) より
4k0 k - 1 1
k=1 0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
n
4
=
k 2 - k1
P
0
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1 k=1
4
1
1
=
n0 n +1 10 2n +1 1 - n0 n +1 1
2
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1 6
n
P
>
=
4
1
% n0 n +1 160 2n +1 1 -3 7
6
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
?
=
4
1
% n0 n +1 10 n -1 1
3
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
=
4
… [答 ]
30 n + 2 1
(4)　引いたカード 2 枚の番号が異なっている事象は，引いたカード 2 枚
の番号が一致する事象の余事象であるから
p n =1-
4
30 n + 2 1
p n ) 0.9 より
1-
4
) 0.9
30 n + 2 1
整理すると
n )
34
1
=11+
3
3
よって，求める最小の自然数 n の値は
n =12 … [答 ]
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学A ･数学B)
２
A
7- x
x
7
P
3
R
3- x
B
x
x
C
Q
5- x
5
(1)　余弦定理より
32 + 5 2 - 7 2
cos 4ABC =
2 ･ 3･ 5
=-
1
2
0, < 4ABC<180, より　4ABC=120,　… [答 ]
(2)　三角形 BPQ の面積は
1
1
･ BQ ･ BP ･ sin 4PBQ = ･ x ･ 0 3 - x 1 ･ sin 120,
2
2
3
= U x0 3 - x 1 … [答 ]
4
(3)　三角形 PQR の面積をT，三角形 ABC の面積をS，三角形 APR の
面積を S 1，三角形 BPQ の面積を S 2，三角形 CQR の面積を S 3 とおく
と
S =
1
･AB ･ BC･ sin 120,
2
=
1
U3
･ 3 ･5 ･
2
2
=
15U 3
4
S 1 =
(2) より
x 7- x
5 3
S = U x0 7 - x 1
･
3
7
28
3
S 2= U x0 3 - x 1
4
S 3 =
x 5- x
3 3
S = U x0 5 - x 1
･
7
5
28
よって
T= S - 0 S 1 + S 2 + S 31
=
15U 3
5 3
3
3 3
- U x0 7 - x 1 - U x0 3 - x 1 - U x0 5 - x 1
4
28
4
28
3
= U 0 15x 2 -71x +1051
28
3
71
= U
15 x 28
30
> 8
9
2
+
1259
60
?
0< x <3 より，三角形 PQR の面積 T が最小となるときの x の値は
x =
71
… [答 ]
30
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学A ･数学B)
３
(1)　a n+2 -4a n+1 +3a n =1 であるから
a n+2 - a n+1 =30 a n+1 - a n1 +1
b n = a n+1 - a n より
b n+1 =3b n +1 … [答 ]
(2)　b n+1 =3b n +1 を変形して
b n+1 +
1
1
=3 b n +
2
2
8
>
よって，数列 b n +
9
1
1
1
1
3
は，初項 b 1 + = a 2 - a 1 + =2-1+ = ，
2
2
2
2
2
?
公比 3 の等比数列であるから
b n +
1
3
= ･ 3n -1
2
2
したがって，数列 6 b n7 の一般項は
b n =
3 n -1
… [答 ]
2
(3)　n ) 2 のとき
n-1
a n = a 1 + P b k
k=1
3 k- 1
=1+ P
2
k =1
n -1
n -1
=1+ P
k =1
8
3 k-1 1
･3 2
2
9
n -1
=1+
=
3 3
-1
1
- 0 n -1 1
･
2
3- 1
2
1 n
3 -2n +31
40
a 1 =1 であるから， a n =
1 n
3 -2n +31 は n =1 のときも成り立つ。
40
よって，数列 6 a n7 の一般項は
a n =
1 n
3 -2n +31 … [答 ]
40
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学A ･数学B)
４
(1)　題意より k <0 なる実数の定数 k が存在して
f0 x 1 = kx0 x - a 1
と表される。
f0 x 1 = kx 2 - akx
f -0 x 1 =2kx - ak
ここで，kx0 x - a 1 = x 2 を解くと
x60 k -1 1x - ak 7 =0
k <0 より，k -1 ' 0 であるから
x =0 ，
ak
k- 1
k <0 ， 0< a <1 より
は
ak
' 0 であるから，題意より，点 P の x 座標
k- 1
ak
である。
k- 1
g0 x 1 = x 2 とおくと，g -0 x 1 =2x であるから
ak
2ak
m = g =
k-1
k-1
8
9
また
ak
2ak 2
ak k + 1 1
n = f =
- ak = 0
k-1
k-1
k-1
8
9
したがって， 0 2a -1 1m =2an より
2ak0 2a - 1 1
2a 2k0 k + 1 1
=
k-1
k- 1
k <0 ， 0< a <1 より
2ak
' 0 であるから
k- 1
2a -1= a0 k +1 1
+　k =
a -1
a
よって
f0 x 1 =
a -1
x0 x - a 1 … [答 ]
a
(2)　0< a <1 より， 0( x ( a の範囲では f0 x 1 =
から
a -1
x0 x - a 1 ) 0 である
a
S0 a 1 =
a- 1
a
Q
a
0
x0 x - a 1 dx
a- 1 1 3 a 2
=
x - x
a
2
3
<
=-
=
a
0
1 3 1 2
a + a … [答 ]
6
6
(3)　S -0 a 1 =-
1 2 1
1
2
a + a =- a a 2
3
2
3
8
9
2
0< a <1 より，S -0 a 1 =0 とすると，a =
3
したがって，S0 a 1 の増減は次のようになる。
…
2
3
…
S -0 a 1
+
0
-
S0 a 1
9
極大
:
a
S0 a 1 =
S
0
1
1 2
a 1 - a 1 であるから，S0 a 1 の 0< a <1 における最大値は
6 0
2
1 4 1
2
… [答 ]
= ･･ =
3
6 9 3
81
8 9

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