数学Ⅱ・数学B
問題
第 1 問
必、
第2問
必、
答答
選択方法
第3問
第4問
いずれか2問を選択し,
解答しなさい。
第5問
15
(2605-15)
数学Ⅱ
第 1 問
.
数学B (注)この科目には,選択問題があります。(15ページ参照。)
(必答問題)価三点 3の
〔1〕 0 を原点とする座標平面上の 2 点 P(2Cose, 2 Sin e ),
くθく
π4
π8
Q(2 COS θ十 COS 7θ,2 Sin θ十 Sin 7θ)を考える。ただし,
とする。
.0←1^, N・[1Ξ0泌。訟
OQ2 = 1^+ 1^1(COS7θCOSθ十 Sin7θSine)
・E刃・[1三郎([1ヨリ
である。
よって,1一茎θ三 11一の範囲で, OQはθ
[11^をとる。
π
[ヨ
のとき最大値
(数学Ⅱ・数学B第1問は次ページに続く。)
16
(2605-16)
数学Ⅱ・数学B
②
3点0, P, Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。
醜0ル表す方程加[1ヨ0泌。1^噛N論加
を,次の◎ ③のうちからーつ選べ。
ππ
π
[ヨ
0
(sin e)%ー(cos e)ツ
このことにより,^三θ莟^の範囲で,
にあるのはθ
0
0
②(cos e)%ー(sine)y
(sin e)%十(cos e)y
==
①③
0
◎(cose)%十(sin e)y
3点0, P, Qが一直線上
のときであることがわかる。
③ω0部齢捻卯即0*■t司、吐k泌。
したがっ
ππ←
^
π
、、
て,^茎θ茎^の範囲で,とOQPが直角となるのはθ
のときである。
(数学Ⅱ・数学B第1 問は次ページに続く。)
17
(2605-17)
数学Ⅱ・数学B
α, hを正の実数とする。連立方程式
g
(2〕
)
*
(
一α
b
%
y
を満たす正の実数%, yについて考えよう。
)連立方程式(*)を満たす正の実数%, yは
χ一α
因hl^,
y
,h回
ap h
となる。ただし
テ
つ
である
(数学Ⅱ・数学B第1問は次ページに続く。)
18
(2605-18)
(61-909Z)
61
一＼一
r
゜皀卯立
士、
/
,X
b
リN ゜●四遁器往^_.,,",一袈叱一加一
'?俣'●困11生&潟鯏⑦緋ホ迦畔?辱ホ叫獣'ユ'clqヌιn ゜皀リ翠拳?
国"圖Z="圧刃"区田Z="
》口則&り'ヱ1"'%壕蓬⑦氾キL¥轄&(*)'9心受卯区三竹IZ = q
゜ξfⅨ斗く&刷1寸/筈⑦イ+%'》V)C21イ'%壊蓬⑦玉●ヌ/
獣&(*)¥乱g率璽'呈?>應&圏聽⑦ 0 くυ:q 力゜俣'●7 三乙,1Z = q (Z)
旺案奪・Ⅱ右漂
数学Ⅱ・数学B
晒三点 3の
第 2 問(必答問題)
山関数<%)=^%2の%=αにおける微分係数f'(α)を求めよう。11が0で
ないとき,%がαからα十 h まで変化するときのf(%)の平均変化率は
h
区ヨ
)
[ヨ*
である。したがって,求める微分係数は
+
ウ
である。
α
12
C上
こ
をCとし
1
2
%
12
)
2
(
放物線 y=
をとる
ただし,
α>0 とする。点Pにおける Cの接線ιの方程式は
y=[1^、
巨ヨ
α
ー。醸一ー,・一←,0ト・。ー
通りしに垂直な直線を抗とすると,祝の方程式は
y
圧ヨ.1^
巨ヨ' 111^
である
(数学Ⅱ・数学B第2問は次ページに続く。)
20
(2605-2の
数学Ⅱ・数学B
直線祝とy軸との交点をA とする。三角形APQの面積をSとおくと
S
イ{[1ヨ)
Ea
となる。また, y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積を r
とおくと
T=
4{[1Ξ)
巨ヨ
となる。
α>0 の範囲における S
S
r=
7の値について調べよう。
ー・[1ヨ)
[国
である。α>0であるから,Sーア>0となるようなαのとり得る値の範囲は
φⅦt三コ、0泌。訟,φ⑩時那1噌雄*祉,
S
7はα
[1^で最小値
ネノ
Ea
をとることがわかる。
(2605-2D
数学Ⅱ
第3問
.
数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
(選択問題)価e点 2の
自然数11に対し,2"のーの位の数をα,とする。また,数列{h,Hよ
ι11ι 11
命
(π=1,2,3,ー・)
4
を満たすとする。
■ 0.*.,の・1^,偽・[1三],偽*区ヨ,砥*[ニヨ●
る。このことから,すべての自然数πに対して,
0団'偽・
となることがわか
る。[1^に当てはまるものを,次の◎ ④のうちからーつ選べ。
◎ 5"①
2
4π十1
②"+3 ③"+4 ④"+5
数列{b,}の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより
hπ+4
α"+ 3 α"+ 2 α11 + 1 aπ
2国
が成り立つことがわかる。ここで,
から, b,T4
h,
(%
,
2,3,
α"+3α11+2α"+1α"
...囲0泌ご
h,が成り立つ。このことから,自然数えに対して
[a E三加
区ヨ区三ヨ
0・イ圃ジ、',
田■)'、',0・イ■)、
h4ι一2
力4轟一 1
である。
(数学Ⅱ・数学B第3問は次ページに続く
22
(2605-22)
数学Ⅱ・数学B
11
(3) S,
Σ hjとおく。自然数柳に対して
ノ
S、、=11^1]
コ
巨ヨ
E三
である。
(4)積 h,訪・-h,を r,とおく。自然数えに対して
bⅡ一3h4々-2hM-1b飢
Ea
ラニ仙一D
[ヨ区三
であることから,自然数魏に対して
r4切
Ea 田,・'・田,・
[1Σ]'"[1^
3-
である。また,7W を計算すると,
、゜= 1^1、゜
23
(2605-23)
数学Ⅱ.数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第4問(選択問題)(配点 20)
1辺の長さが1のひし形OABCにおいて,とAOC = 120゜とする。辺ABを
ーーー^
ーーーーー^
2:1に内分する点を P とし,直線BC上に点Q を OPJ_OQ となるようにと
.^、
ー、
ーーーー^
^
る。以下, OA =α, OB = h とおく。
区
国
゛
・^
↓h
ーーーーー..
数tを用いて OQ =(1
+
↓α
ーーーー^
三角形OPQの面積を求めよう。 OP=
実
t)OB + toC と表されるので, OQ =[Σ1Ξ1]tα十;
ーーー^ーーーー^
^
, OP・ OQ =キであることから,
である。ここで,α・6
区国
である。
これらのことから,
1δ〒1
[ヨ
[Ξ
よって,三角形OPQの面積S1は, S,
,
16る1
シス
[ヨ
[ヨ巨ヨ
巨ヨ
である。
である。
(数学Ⅱ・数学B第4問は次ページに続く。)
24
(2605-2の
数学Ⅷ'・数学侭
②辺BCを 1:3 に内分する点をR とし,直線OR と直線PQ9ざの交点亀d'ご
・^
ー、
^
する。 OTをαとhを用いて表し,三角形OPQと三角形PRTの面積比を求め
よう。
Tは直線OR上の点であり,直線PQ上の点でもあるので,実数ナ, S を用
いて
・^
ーーーー・^
・ーー^、
甲一.^
OT =ア0R =a - S)OP + SOQ
S
二
,
となることがわかる。よって,
↓h
十
↓α
、ネ
ヌ
ー・ー^、
＼
OT =
国
テ
ア
と表すと,
上で求めたr, S の値から,三角形OPQの面積S1と,三角形PRTの面積
S2 との比は, SI: S2 =[1^:2 である。
25
(2605-25)
数学Ⅱ.数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第5 問(選択問題)(配点 2の
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて29ページの正規分布表を
用いてもよい。
また,小数の形で解答する場合,指定された桁数のーつ下の桁を四捨五入し,
解答せよ。途中で割り切れた場合,指定された桁まで◎にマークすること。
山袋の中に白球が4個,赤球が3個入っている。この袋の中から同時に3個の
■
圖
区
球を取り出すとき,白球の個数をWとする。確率変数Wについて
P(W= D
P(Πノ= 0 )=
P(W = 2)
P(W = 3)
、、
であり,期待値(平均)は
,分散は
ス
国
巨図
,
巨刃
である。
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ページに続く。)
26
(2605-26)
数学Ⅱ・数学B
②確率変数Zが標準正規分布に従うとき
ル[Ξ"'[1司)・0."
が成り立っ。[1三ヨに当てはまる最も適切なものを,次の◎ ③のうちから
ーつ選べ。
◎
1.64
①
②
1.96
2.33
③ 2.58
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ページに続く。)
27
(2605-27)
数学Ⅱ・数学B
3 母標準偏差σの母集団から,大きさ%の無作為標本を抽出する。ただし,11
は十分に大きいとする。この標本から得られる母平均祝の信頼度q言頼係数)
95 %の信頼区間をA奎祝茎Bとし,この信頼区間の幅厶をム=B-Aで
定める。
この標本から得られる信頼度99%の信頼区問を C莟柳三D とし,この信
頼区間の幅ι2をι2 =D - Cで定めると
ι2
ι1
^
[ヨ・[ヨ
が成り立つ。また,同じ母集団から,大きさ4%の無作為標本を抽出して得ら
れる母平均抗の信頼度95%の信頼区間をE茎祝三Fとし,この信頼区間の
幅ι3 をι3 = F- Eで定める。このとき
ム云
Ea・1^]
が成り立つ。
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ページに続く。)
28
(2605-?8)
(6Z-909Z)
1ε6f,'0
Zε6ヤ'0
9ヤ6f,'0
6f,6f,'0
196f,'0
Z96ヤ'0
ε96モ,'0
ヤ96ヤ'0
ει6モ,'0
ヤι6ヤ'0
086f,'0
186f,'0
986T,'0
986モ,'0
98師'0
696f,'0
066f,'0
066f,'0
ε16f,'0
916ヤ'0
ヤ部ヤ'0
9ε6ヤ'0
Z96ヤ'0
19ιヤ'0
ι9ιヤ'0
Z18ヤ'0
ι19f,'0
ヤ98ヤ'0
ι98f,'0
ι8部'0
069ヤ'0
6ι61,'0
Zι6ヤ'0
Π6ヤ'0
ヤ88f,'0
098ヤ'0
808ヤ'0
99ιヤ'0
ef,1,1 '0
08H '0
ι191 '0
8081 '0
ヤヤ81'0
6ι81 '0
061Z '0
ヤZZZ '0
ι19Z '0
6f,9Z '0
εZ8Z '0
Z98Z '0
901ε'0
εε1ε'0
99eε'0
68εε'0
ιι9ε'0
669E '0
IZ9ε'0
06ιε'0
018ε'0
Oe8ε'0
ι66e '0
910f,'0
Z91ヤ'0
ιι1ヤ'0
90εヤ'0
61εヤ'0
6Zヤヤ'0
Wヤヤ'0
9ε9f,'0
9f,9ヤ'0
9Z9f,'0
εε9ヤ'0
669ヤ'0
90ιヤ'0
ε69モ,'0
919ヤ'0
9Z9ヤ'0
81ヤヤ'0
Z6ZT,'0
ιヤ1ヤ'0
08舵'0
0ヤεε'0
8ι0ε'0
ヤ6ιZ '0
99ヤZ '0
ι91Z '0
696f,'0
986ヤ'0
6ι6T,'0
1ι6T,'0
1961,'0
606f,'0
τ88ヤ'0
9T,8モ,'0
ε09ヤ'0
09ιヤ'0
989ヤ'0
8四ヤ'0
919ヤ'0
90モ,ヤ'0
6ιZI,'0
1εW '0
Z96ε'0
0ιιε'0
ヤ99ε'0
91εε'0
190ε'0
ヤ9ιZ '0
ヤ91,Z '0
能IZ '0
Zιι1 '0
90ヤ1 '0
能師'0
ヤ86ヤ'0
8ι6f,'0
0ι6f,'0
096T,'0
9f,6f,'0
6Z6ヤ'0
906ヤ'0
8ι8ヤ'0
Zヤ91,'0
86ιヤ'0
ヤヤιヤ'0
8ι9ヤ'0
669ヤ'0
909ヤ'0
ヤ6εヤ'0
99Zf,'0
91W '0
ヤヤ6ε'0
6f,ιε'0
1ε9ε'0
能Zε'0
εZ0ε'0
ヤειZ '0
ZZT,Z '0
880Z '0
9ει1 '0
89ε1 '0
6Z
886ヤ'0
ヤ86τ,'0
ιι6モ,'0
696ヤ'0
696モ,'0
9f,6f,'0
ιZ6f,'0
ヤ06ヤ'0
9ι8f,'0
8認ヤ'0
ε6ιヤ'0
8ειヤ'0
U9f,'0
169モ,'0
96ヤヤ'0
Z8εヤ'0
19Zf,'0
660f,'0
9Z6E '0
6Zιε'0
80兜'0
ヤ9ZE '0
966Z '0
ヤ0ιZ '0
68能'0
ヤ90Z '0
00ι1 '0
1εel'0
ι990 '0
8f,60 '0
8861,'0
ε86モ,'0
ιι6モ,'0
ι86ヤ'0
Z86ヤ'0
9ι6毛,'0
996T,'0
ι96f,'0
ι9師'0
89師'0
ετ,6f,'0
9Z6ヤ'0
106f,'0
1ι8f,'0
ヤe8ヤ'0
98ιヤ'0
Zειヤ'0
ヤ99ヤ'0
Z89ラ'0
ヤ8モ,ヤ'0
0ιεヤ'0
9εZE,'0
Z80f,'0
ι0能'0
80ιε'0
98ヤε'0
8εZε'0
ι96Z '0
ει9Z '0
ι9認'0
610Z '0
ヤ991 '0
ε6ZI '0
0160 '0
1ヤ6T,'0
ZZ6ヤ'0
868ヤ'0
9ι90 '0
9e90 '0
90 '0
90 '0
レ0 '0
ι190 '0
ε0 '0
ι96モ,'0
Z86f,'0
9ι6ヤ'0
99師'0
996T,'0
OT,6f,'0
OZ6f,'0
9681,'0
9Z9ヤ'0
0ε8モ,'0
ヤ98f,'0
898ヤ'0
ε8ιヤ'0
9Zιヤ'0
999モ,'0
ει9f,'0
ヤιヤヤ'0
ι9εヤ'0
ZZZI,'0
9901" 0
888ε'0
989ε'0
19ヤε'0
ZIZε'0
能6Z '0
ZE,9Z '0
ヤZ能'0
98飢'0
8Z91 '0
99Z{'0
1ι80 '0
9ιヤ0 '0
ε0Π'0
Wn '0
ι0 '0
9Z01 '0
ι8印'0
ヤ1ι0 '0
ε9ι0 '0
90 '0
ヤ901 '0
9690 '0
0900 '0
69ε0'0 61eo'0 6ιZO '0 舵ZO'0 6610'0 0910'0 OZI0'0
60 '0
OZ
ZO '0
8ιιヤ'0
6Uヤ'0
6T,9モ,'0
ヤ99ヤ'0
ε9ヤヤ'0
9ヤεヤ'0
ιOzf,'0
6モ,0ヤ'0
698ε'0
999ε'0
8εヤε'0
981ε'0
016Z '0
Π9Z '0
16ZZ '0
0961 '0
1691'0
ιIZI '0
Zε80 '0
8el,0 '0
Of,00 '0
LO '0
ι86f,'0
0 'ε
8 'Z
ヤι6ヤ'0
6 'Z
18師'0
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816ヤ'0
ε68ヤ'0
198f,'0
IZ8モ,'0
Zιιヤ'0
ε1ιヤ'0
W9ヤ'0
ヤ99ヤ'0
Z9f,ヤ'0
ZEεヤ'0
Z61f,'0
Zεof,'0
6ヤ8ε'0
ef,9ε'0
ε1ヤε'0
691ε'0
188Z '0
099Z '0
ι9ZZ '0
9161 '0
ヤ991 '0
6ιΠ'0
豁ι0 '0
96eo '0
0000.0
00.0
ι'Z
9 'Z
9 '乙
ヤ'Z
ε'Z
Z 'Z
1 '乙
0 'Z
6 'ι
8 'ι
ι'ι
9 '【
9 'ι
ヤ' L
ε' L
乙' L
L'L
0'L
6 '0
9 '0
ι'0
9 '0
9 '0
ヤ'0
ε'0
乙'0
ι'0
0.0
02
0
゜皀卯立⑦、¥喫?羊及則⑦獣皿⑦g沸尋
凶⑦凶學受■肆ユ1獣卵聖4⑦學4削巫寮劃'凋梁⑦畝
肇単4配王
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