null

数学Ⅱ・数学B
問題
第1 問
ι、
第2問
必、
答答
選択方法
第3問
いずれか2問を選択し,
第4問
解答しなさい。
第5問
(2605-15)
数学Ⅱ.数学B (注)この科目には.選択問題があります。(15ページ参照。)
第1 問(必答問題)(配点 30)
4
COS 2 α+ COS 2 β
②
15
2 五'5
Cos a coS β
を考える。ただし,
0
1〕連立方程式
15
0 くαくπ
,
0茎β巨πであり.αくβかつ
0
k0訟1 竺 1^OS β1
とする。このとき, COSαと COSβの値を求めよう。
圖
2倍角の公式を用いると,1から
COS2 α十 COS β
が得られる。また.
から, COS、 a coS2 β
[王コ
15
である。
(数学Ⅱ・数学B第1問は次ページに続く)
(2605-16)
圃
したがって,条件③を用いると
,
=
Cos a
数学Ⅱ・数学B
COS2β
である。よって,②と条件0 三α亘π,0 奎β巨π,αくβから
Cos a
EヨⅥ乏三ゴ
,
ニノ
である。
COS β
E刃Ⅶt豆丁
区]
(数学Ⅱ・数学B第 1問は次ページに続く)
(26妬一17)
数学Ⅱ・数学B
御臨師b.,甑(0,ール印,"拠
^
10g2Xのグラフ上に 2点
Bψ,10g2P), C(q,10象 q)をとる。線分ABを 1:2に内分する点がCで
あるとき, P,4 の値を求めよう。
熊.条牝". PI^,ψ[巨ヨ"泌。がル,瓶
10g。h に対し,αを底といい, b を真数という。
線分ABを 1
2に内分する点の座標は, Pを用いて
?
ツ
区
[ヨ巨ヨ
と表される。これがCの座標と一致するので
ツテ
E三 P
E三
が成り立つ。
④
q
10g、P +[1^
10g2 q
■■●●●●●●●■●●●●●●●●●●●,■●●●●●●●
⑤
(数学Ⅱ・数学B第1問は次ページに続く
(26備一18)
数学Ⅱ・数学B
⑤は
P
Eヨ困
⑥
[ヨ゜
と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて.P>1^.
q>[1^に注意すると
,・[ヨⅦt西、,0・[ヨ丸ta
である。
訟,⑳心棚呼([1三Ⅵラニ河)の僅,小鄭独如紅
ルで,徴第H捻球"祉,1^0泌。[1ヨ噛で捻
るものを,次の◎ @のうちからーつ選べ。ただし,10g円2 = 0.3010,
10gl03 = 0.4771, 10g,07 = 0.8451 とする。
2.9
3.3
1.6
3.6
⑤@
⑦ 2.6
1.3
④@
2.3
0.9
③⑨
@ 0.6
②⑧
◎⑥
0.3
1.9
3.9
(2605-19)
数学Ⅱ・数学B
第2 問姥答問題)
(配点 30)
0 を原点とする座標平面上の放物線y =%2+ 1を Cとし,点(α.2α)を Pと
する。
点Pを通り,放物線Cに按する直線の方程式を求めよう。
C上の点(t, t2+ Dにおける接線の方程式は
"[1ヨ・・ー[1ヨ
である。この直線がPを通るとすると,tは方程式
'.・[1^0汁1^0・[1^・0
.^*す",'*E刃"一巨コ,区Σ1,酪。'六,
αキ[11Ξ]のとき, Pを通る Cの接線は2本あり,それらの方程式は
,・([1ヨ"・[1ヨ)・・[1ヨ{[1ヨ0 ・・,・・,・,
と
y=セχ
である。
2) 1の方程式①で表される直線をしとする。ぞとy軸との交点を R(0,"
[1ヨ0斗[1司"であ●。か吐な●●は.
[1ヨ如'1^]ルkあ0,⑳睦.三飾0煕●面積鍬
とすると. r
^^
国
ツ
α
α
となる。
(
国
S=
(数学Ⅱ・数学B第2問は次ページに続く)
(2605-2の
数学Ⅱ・数学B
圖
[1ヨ'永1^●とき,肋増減を調べ祉.
で最大値
Sはα
をとることがわかる。
3)[1ヨ'水1^1吐き,放物線'ど2め直線玲よび殖線
■
χ= 0, X =αで囲まれた図形の面積を rとすると
区三
、
である。
ノ
7
0.・[1ヨ{[1ヨ
'水1111ヨ.範畍加.,川[1ヨ。[1ヨ
に当てはまるものを,次の◎ ⑤のうちからーつ選べ。
◎減少する
①極小値をとるが,極大値はとらない
②増加する
③極大値をとるが.極小値はとらない
④一定である
⑤極小値と極大値の両方をとる
(2605-2D
数学Ⅱ・数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第3問(選択問題)(配点 20)
以下において考察する数列の項は,すべて実数であるとする
等比数列{S,1の初項が1,公比が2であるとき
SIS2S3
[Ξ
=1^, S 十S +
である。
(2){S,}を初項X,公比rの等比数列とする。α, b を実数(ただしα=のとし,
①②
{S゛の最初の3項が
S IS2S3 =α3
3
S
2
十
=0
を満たすとする。このとき
Xr=ウ
である。さらに,②.③を用いて*,α, h の満たす関係式を求めると
[ヨー(巨ヨ[Σコ)汁1^・0
④
を得る。④を満たす実数rが存在するので
Eヨ{[1ヨ肋・0漣0
⑤
である。
逆に, a, h が⑤を満たすとき
できる。
3,④を用いて,,*の値を求めることが
(数学Ⅱ・数学B第3問は次ベージに続く)
0605-22)
数学Ⅱ・数学B
3)α= 64,0 = 336 のとき,(2)の条件①,②を満たし,公比が 1 より大きい
等比数列{S,1を老える。③,④を用いて{S,,}の公比少と初項.を求めると,
,・ 111^,.*[三ヨ●.。
{S,}を用いて,数列{t,}を
t"- S"10g l^S"
と定める。このとき,
( 11
^
1,2,3.
",ゆー"郎',,・(,ル[1刃)・[1ヨ 0
ある。 U,}の初項から第π項までの和υ,は,υ,
[11Ξ]υ,を計算するこ
とにより
[Σコ,汁[亙ヨ
[ヨ
.1三"回
国
υ,
であることがわかる。
(2605-23)
数学Ⅱ・数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第4問(選択問題)(配点 20)
座標平面上に点A(2,0)をとり.原点0 を中心とする半径が2 の円周上に
点B, C, D. E. F を,点A, B, C, D, E, F力司頓に正六角形の頂点となるよ
うにとる。ただし. Bは第1象限にあるとする。
",如腔鄭([^,[ヨ),即腔鄭(・[^,0)貼
る。
ーーーーー^
2 線分BDの中点をM とし,直線AM と直線CDの交点をNとする。 ONを
求めよう。
,^
ーーーーー^
.^
ーーーーー^
ーーーーー^
^、
.^
ON は実数r, S を用いて, ON = OA 十 rAM, ON OD + SDC と 2通り
区
に表すことができる。ここで
子)
)
国■
・イ
戻・([1^,
であるから
)
■
ツ
ソ
である。
国
国
武
(
である。よって
国
S
r
(数学Ⅱ・数学B第4問は次ページに続く)
(2605ーネD
数学Ⅱ・数学B
3 線分BF上に点Pをとり,そのy座標をαとする。点Pから直線CEに引い
た垂線と,点Cから直線EPに引いた垂線との交点を H とする。
・^
EPが
蔀・(1Σ],[ヨ、Ⅶt力、)
と表せることにより, Hの座標をαを用いて表すと
[ヨ0因,[^
区].
,
■
である。
・^
n玲
.^
国
さらに, OP と OH のなす角をθとする。 cose
のとき,αの値は
α =土
である。
(2605-25)
数学Ⅱ.数学B 第3問第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第5問(選択問題)(配点 20)
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて29ページの正規分布表を
用いてもよい
" 1回の試行において.事象Aの起こる確率がP.起こらない確率が1一つで
圖
あるとする。この試行を"回繰り返すとき,事象Aの起こる回数を Wとす
.1216
る。確率変数Wの平均(期待値)抗か^
、=1^1Σ], P
、.、152 、
標準偏差σが^であるとき,
である
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ページに続く。)
(2605-26)
数学Ⅱ・数学B
2
1の反復試行において, Wが謁以上となる確率の近似値を求めよう。
いま
八雁御・,(^.-1^.1Ξ])
と変形できる。ここで, Z=
IV -1π
σ
とおき, Wの分布を正規分布で近似す
ると,正規分布表から確率の近似値は次のように求められる。
,(n ・1^,1^)・0.1^
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ベージに続く。)
(2605-27)
数学Ⅱ・数学B
3)連続型確率変数Xのとり得る値Xの範囲がS亘1三tで,確率密度関数が
f(X)のとき, Xの平均E(X)は次の式で与えられる。
E(X)= 11f(力dx
αを正の実数とする。連続型確率変数Xのとり得る値χの範囲が
α三1三 20で.確率密度関数が
)
1
(
2α
α
2
χ
<=
、、
α
、阜
<=
巨三
32
平均は
0
グ
一χ
であるとする。このとき. a 冬X ε
また, Xの平均は
(
)
1
f(χ)=
(一α茎χ巨 0 のとき)
十α
となる確率は
である。
である。さらに,γ= 2×+ 7 とおくと,γの
+[11Ξ1]である
(数学Ⅱ・数学B第5問は次ページに続く)
(2605-28)
数学Ⅱ・数学B
正規分布表
y
次の表は,標準正規分布の分布曲線における右図の灰
色部分の面積の値をまとめたものである。
0
2
ZO
20
0.卯
0.01
0.02
0.03
0,04
0.05
0.06
0.07
0.帖
0.09
0.0
0.0000
0.00如
0.0080
0.0120
0.0160
0,0199
0.舵39
0,0279
0.脇19
0.0359
0.1
0.船98
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.07認
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1217
0.1255
0.1406
0.1443
0.1591
0.1772
0.1950
0.2054
0.2088
0.2123
0.1808
0,2157
0,1844
0.2190
0.1879
0.1915
0.1664
0.2019
0.1736
0.5
0.1628
0.1985
0.1331
0.1700
0.1368
0.4
0. H79
0.1554
0.1103
0.1480
0. U41
0.3
0.0910
0.12蛤
0.6
0,2291
0.2611
0,2324
0.2389
0.2704
0.2995
0.2454
0.2517
0.2823
0.3106
0.9
0.3159
0.詑64
0.31認
0,諦89
0.3413
0.34開
0,3461
0.3508
0.3531
0.3554
0.33如
0.357フ
0.33価
1.0
0.32認
0,3485
0.3023
0.3289
0.2486
0.2794
0.3078
0.2549
0.2852
0,2910
0.3186
0.2357
0.2673
0.2967
0.2422
0.2734
0.8
0.2257
0.2580
0.2881
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3708
0.3729
0.4131
0.4147
0.4222
0.4265
0.4279
0.4292
0.3997
0.4162
0.心06
0.3830
0.4015
0,41π
0.4207
0,3925
0.4099
0.4251
0.3980
1.4
0.3907
0.4082
0.4236
0.3770
0.3962
0.3810
0.開認
0.37四
0.3944
0.4115
0.3790
0.38四
0.4032
0.4192
0.3665
0.3869
0.4049
0.3686
1.2
1,5
0,4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.44噐
0.4463
0.4474
0.4505
0.4515
0.4545
0.4608
0.4686
0.46認
1.9
0.47玲
0.4772
0.4726
0.4732
0,4750
0.4756
0.4783
0.47部
0,4671
0.4738
0.47船
0.4599
0.4678
0.47U
0.4798
0,4625
0.4641
0.45乃
0.4656
0.4591
1.8
0.4564
0.46四
0.47]9
0.4778
0.4525
0.4616
0.妬93
0.4535
0,4554
0.4484
0.45朋
0.4664
0.4495
1.フ
0.4803
0.開08
0.4699
0.4761
0.4812
0.4706
0.4767
0.4817
0.開21
0.48田
0.4826
0.4830
0.48認
0,蝿75
0.4846
0,蝿57
0.4878
0,弗81
0.開50
0.4884
0.4854
0.娼68
0.4834
0.4871
0.4842
0.4864
0.4887
0.4890
0.4896
0.4898
0.四01
0,4925
0,4943
0.49叫
0.4927
0.4945
0,4906
0.49的
0.四13
0.四16
0.4兜9
0.4931
0.朝34
0.4936
0.四46
0.四48
0.49H
0.四能
0.四四
0.4951
0.49記
0.四57
0.四能
0.四59
0.四69
0,4960
0,四61
0.4971
0.的62
0.四72
0.四7フ
0.4979
0.フ
1.3
2.0
2.1
2.2
0.2642
0.29諦
0.3212
0.4066
0.4893
0.四18
0.四38
0.4920
0.4922
0.49如
0.4941
0.4953
0.四備
0.四55
0.4966
0.4956
2.8
0.4974
2.9
0.四81
0.的75
0.四詑
0.四82
0.朝83
0.的7フ
0.四84
3.0
0.四釘
0.49釘
0.4987
0.4988
0.49駆
2.3
2.4
2.5
2,6
2.フ
0.四67
0.4976
0.四70
0.四78
0.2764
0.3051
0.3315
0.4984
0.四85
0.4979
0.四舗
0.4989
0.4989
0.四89
0.1517
0.2224
0.4319
0.4963
0.4964
0.4973
0.4974
0,4980
0.4981
0.四86
0.四90
0.開86
0.4990
(26帖一2の

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