力学１ 2014/7/4 球殻のポテンシャル半径R厚み∆Rの薄い球殻を考える。この球殻が点Ｐにつくる P 万有引力のポテンシャルU (r )を求める。 s 一周2π R sin θ 、幅Rdθ 、厚み∆Rの体積素片は2π R 2 ∆R sin θ dθなので密度（面密度ではなく単位体積あたりの質量）ρ ( R )として  ρ ( R)2π R 2 ∆R sin θ  U (= r ) ∫  −Gm dθ 0 s   ここでs 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θなのでsds = Rr sin θ dθ π r θ R O ∆R これを上に代入すると ρ ( R)2π R∆R  ρ ( R)2π R∆R s2  Gm − ds = − Gm ds   ∫s1  ∫ s1 r r  r > Rのときはs1 = r − R, s2 = r + Rなので U (= r) s2 ρ ( R)4π R 2 ∆R M U (r ) = −Gm = −Gm r r ここでM は、今考えている球殻の全質量 dU (r ) ρ ( R)4π R 2 ∆R M f (r ) = − = −Gm = − Gm dr r2 r2 一方、Ｐが球殻の内側r < Rのときはs1 = R − r , s2 = R+r U (r ) = −Gmρ ( R)4π R∆R、f (r ) = 0 となる。球対称な質量分布に対するポテンシャルも球殻のポテンシャルの重ね合わせとして理解できる（次の2ページ分の資料） r P s θ R O ∆R 4.7球形の物体によるポテンシャル (導出は幾何学の問題）球対称な質量分布をもつ物体の全質量をM として、その物体の外で、中心から距離r のところに質量m の質点をおくとこれに働く万有引力は GmM r2 とかける。ポテンシャルは f (r ) = − U (r ) = − P P GmM r O O Pにおいた質点mに働く万有引力は全質量M が中心Ｏに集中している場合と等価。 4.7球形の物体によるポテンシャル (導出は幾何学の問題）一様な球殻の内側、中心から距離r のところにおいた質量mに働く万有引力は f (r ) = 0 P P r r O O Pにおいた質点mに働く万有引力は0。球殻がない球対称な質量分布をもつ物体の内部に場合と等価。中心から距離rのところに質量mの質点をおくとこれに働く万有引力は GmM ( < r ) f (r ) = − r2 とかける。ポテンシャルは GmM ( < r ) U (r ) = − r ただし、ここでM ( < r )は半径rの内側に含まれる質量 2 M (< r ) = ∫ 4π r ′ ρ ( r ′) dr ′ P P r r O O Pにおいた質点mに働く万有引力は r rより内側の球に含まれる全質量M(<r) 0 が中心に集中している場合と等価