信号理論
(金田）
5説-1
複素正弦波（複素指数関数）によるフーリエ級数
◇ 複素正弦波によるフーリエ級数（正弦波の「表現３」を使ったフーリエ級数）
 F e
  F e
f (t )  F0 
周期信号
1

 
j 0 t
 F2  e j 20 t  F3  e j 30 t  
 j 0 t
 F 2  e  j 20 t  F3  e  j 30 t
1
（角周波数 ω0 の正弦波）＋（ 2ω0 の正弦波）＋（ 3ω0 の正弦波）＋・・・
Fn ：係数（複素数）


F
 e jn0 t
n
n  
F n
：
Fn
の複素共役
教科書式(2.21)
【係数 Fn の求め方】
・複素正弦波ｅｊｎω0ｔの係数Ｆn は、周期信号ｆ(t) に
同じ正弦波の複素共役
Fn 
1
T

T
ｅ－ｊｎω0ｔをかけて積分すれば得られる。
f (t )  e  jn0 t dt
0
教科書式(2.26)
ただし、Ｔは、ｅｊｎω0ｔの周期（ ω0 Ｔ＝ 2π ）
【証明】
・同じ周波数の正弦波の（複素共役の）積の積分
（予備知識）

・ sin cos を基本周期の区間で積分すると 0 になるのと同様に、
ｅｊｎω0ｔ

T
0
0
0
(1)
（証明）

0
e jm0 t  e  jn0 t dt
  e j m  n 0 t dt  0
T
0
m  n 
(2)
T
T
0
0
(3)
式（2.26）の右辺に、式（2.21) を代入する。
1
T
よって、
・周波数が異なる正弦波の積の積分
e jn0 t  e  jn0 t dt
  e j 0 dt   1 dt  T
T
e  jn 0 t   cos( n 0 t ) dt   j sin( n 0 t ) dt  0
T
0
を基本周期の区間で積分すると 0 になる。
T
T
 
jm0 t 
F

e

  e  jn0 t dt

0  m m


F T
  m  e jm0 t  e  jn0 t dt
0
m   T
T

Fm
m   T
 Fn



T
0
e j m  n 0 t dt
積分はｍ＝ｎ
以外は 0 となる
(4)
学年
学科
学籍番号
氏名
信号理論
(金田）
5演-1
１．【信号の和と積】
(1) 次の２つの信号ｆ(t) とｇ(t) との和の信号ｆ(t)＋ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｆ(t)＋ｇ(t)
ｇ(t)
1
1
1
ｔ
０
ｔ
０
1
1
(2) 次の２つの信号ｆ(t) とｇ(t) との積の信号ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｇ(t)
2
2
1
1
1
ｔ
1
ｔ
０
2
1
０
2
(3) 次の２つの信号ｆ(t) とｇ(t) との積の信号ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｔ
1
2
ｆ(t)×ｇ(t)
ｇ(t)
1
1
1
ｔ
０
1
ｆ(t)×ｇ(t)
2
０
ｔ
０
ｔ
０
1
1
０
ｔ
1
２．次の２つの信号ｆ(t)＝ sin(2π10ｔ) とｇ(t)＝0.3･sin(2π30ｔ) との和信号ｆ(t)＋ｇ(t) の波形を図中に描き、そのパワー
スペクトルを右に描け（グラフの軸名は明示すること）。ただし、波形はていねいに書かなくても、大体の形がわかれば良い。
1
スペクトル
sin(2π10ｔ)
1.5
0.3･sin(2π30ｔ)
1
0.5
0
ｔ
0
-0.5
-1
-1
-1.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.1
※ 質問事項、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学籍番号
氏名
信号理論
(金田）
5宿-1
［正弦波のパワー］
問１．信号の大きさは、パワーとして表されることが多い。信号ｆ(t) のパワーＰf は、その２乗平均値
Pf 
1
T

T
0
注：積分して積分区間長Ｔで割れば、
その区間の平均値となる
f 2 (t ) dt
として計算される。
(1) 表現１で表された正弦波 f (t )  A  sin
１周期とする（ ωＴ＝2π の関係を持つ）。
(2) 表現２で表された正弦波
（積分区間は同じ））
裏もあります
 t    のパワーを計算せよ。ただし、積分区間Ｔは、
f (t )  a  cos( t )  b  sin( t )
のパワーを計算せよ。
信号理論
(金田）
5宿-2
f (t )  F  e j t  F *  e  j t
◇ 表現３で表された正弦波
のパワーは、以下のように計算される。
複素数の場合、パワーは、ｆ(t) とその共役の積の平均値となるので、
Pf 
Pf 
1
T
1

T
1

T

1
T

T
0
  f (t )  f (t )  dt
1
T
T
0
F  e

 F  e
T
j t
0
 F  F
T
0

T
0
*
*
j t

 F *  e  j t  F  e j t  F *  e  j t

 F *  e  j t  F *  e  j t  F  e j t
  dt
*
 dt

 F 2 e j 2 t  F *2  e  j 2 t  FF * dt
2 FF * dt
 2 FF *  2 F
e j 2 t
2
の平均値は0 を利用
正弦波
パワー
A  sin  t   
表現１
a  cos( t )  b  sin( t )
表現２
F  e j  t  F *  e  j t
表現３
a
A2 2
2

 b2 2
2F
2
問２複素正弦波によるフーリエ級数
f (t ) 

F
n  
n
 e jn0 t
が得られた場合、そのパワースペクトルの大きさは、どのように表されるか？
Ｆn （ｎ＝0,1,2,･･･）を用いて表せ。
（ヒント）
パワー
F n は Fn の複素共役
周波数
ｆ
0
ｆ0
2ｆ0
3ｆ0