を fn (x)=(x − 1)

問題５
2 以上の自然数 n に対して、関数 fn (x) を
fn (x) = (x − 1) (2x − 1) · · · (nx − 1)
と定義する。k = 1, 2, 3, · · · , n − 1 に対して,fn (x) が区間
だ１つの極値をとることを証明せよ。
1
1
< x < でた
k+1
k
【2014 九州大学】
解答
fn (x) = (x − 1) (2x − 1) · · · (nx − 1)
のとき、
fn (x) = (2x − 1) · · · (nx − 1) + 2 (x − 1) (3x − 1) · · · (nx − 1)
+ · · · + n (x − 1) (2x − 1) · · · ((n − 1) x − 1)
であり、
( )
(
)(
)
(
)(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
fn
=k
−1
2 · − 1 · · · (k − 1) · − 1
(k + 1) · − 1 · · · n · − 1
k
k
k
k
k
k
k−1 個の負の因数
すべて正
( )
1
だから、fn
の符号は (−1)k−1 である。
k
fn
( )
(
)
1
1
× fn
k
k+1
の符号は (−1)2k−1 = −1 となるから、fn (x) = 0 は
1
1
< x < で少なくとも１
k+1
k
つの解をもつ。
fn (x) = 0 は n − 1 次方程式であるから、最大 n − 1 個の実数解をもつが、n − 1 個
の区間
1
1
< x < , k = 1, 2, · · · , n − 1
k+1
k
で解をもつのだからどの区間でもただ１つの解をもつことになる。
最後の議論は「鳩の巣原理」を使いました。
c Darumafactory
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