10 月 1 日（表面：まとめ、問題：裏にあります）  x1  .  （定義 1）自然数 n に対して，n 次元実ベクトルの集合を考える. Rn = { ..  | x1 , · · · , xn ∈ R}  x n   b1 a1  .   .  Rn においては, 和とスカラー倍が定義される. すなわち, a =  ..  , b =  ..  ∈ Rn , α ∈ R に対して, a + b, αa ∈ Rn   a1 + b1 ..   をa+b =  . ,  an bn  a1  .  αa =  ..  とすれば、教科書定義 5.1（ｐ 114）(i)-(viii) をみたす．Qn , Cn も同様に考える an + bn  an ことができる. （定義 2）Rn の部分集合 V が R-部分空間であるとは, 任意の xy ∈ V , α ∈ R に対して x + y ∈ V , αx ∈ V が成り立つことをいう. （演習 3）部分空間か？ 1. 2. 3. 4. 5. ( ) x X={ ∈ R2 | x = y} y ( ) x Y ={ ∈ R2 | y = x 2 } y ( ) x Z={ ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} y ( ) x W ={ ∈ R2 | x + y = 1} y   x   V = { y  ∈ R3 | x + 2y + 3z = 0} z  2x   6. U = { −x  | x ∈ R} 3x （注意 4）２つの部分空間の共通部分は，部分空間であるが，和集合は部分空間とは限らない．（定義・定理 5）a1 , · · · , al ∈ Rn に対し, α1 a1 + · · · + αl al , (α1 , · · · , αl ∈ R) の形のベクトルを a1 , · · · , al の一次結合と呼ぶ. 部分集合 ⟨a1 , · · · , al ⟩R = {α1 a1 + · · · + αl al | α1 , · · · , αl ∈ R} を a1 , · · · , al による R 上のリニア・スパン (linear span) と呼ぶ. ⟨a1 , · · · , al ⟩R は, a1 , · · · , al を含む最小の Rn の R-部分空間である. （疑問 6） • Rn の部分空間 X はいつでもリニア・スパンとして表せるのか？ • リニア・スパン ⟨a1 , · · · , al ⟩R の「次元」は l と考えてよいのか？ • X がリニア・スパンのとき, 生成系（X = ⟨a1 , · · · , al ⟩R なるベクトル a1 , · · · , al ) は一意的なのか？ • あるベクトルを他のベクトルの一次結合として表す方法は一意的か？すなわち, x ∈= ⟨a1 , · · · , al ⟩R に対して, x = α1 a1 + · · · + αl al なる α1 , · · · , αl ∈ R は一意的か？ • 一次方程式の解は部分空間か？部分空間は一次方程式の解か？ 1 1. (演習3) に現れる部分空間を適当なベクトルのリニア・スパンとして表せ．        1 2 −5 −1         2. a =  −1  , b =  −3  , c =  8  , d =  4  に対して, 以下の問いに答えよ. 2 3 −7 0 (1) c = xa + yb を解け .   9   (2) f =  −13  に対して f = xa + yb + zc を解け. 14 (3) d = xa + yb + zc を解け. (4) ⟨a⟩R ̸= ⟨a, b⟩R を示せ. (5) ⟨a, b⟩R = ⟨a, b, c⟩R を示せ. (6) ⟨a, b, c⟩R = ⟨a, b, c, d⟩R か？ (7) 下図の部分空間の関係を調べよ. ⟨a⟩R ⟨a, b, c⟩R ⟨a, b⟩R ⟨a, b, d⟩R 2 ⟨a, b, c, d⟩R