講演レジュメ＆練習問題

p 進 L 関数の Stickelberger 構成
− 補足＆演習問題 −
三浦崇 (鶴岡高専)
第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』初日 (2014 年 8 月 28 日)
0
概要
本講演では [Coa77] に従って総実代数体上の p 進 L 関数の構成方法の一つを紹介する．p 進 L 関数は
Dirichelt L 関数の特殊値を p 進補間するような Zp \ {1} 上の p 進正則関数のことで，岩澤理論において
重要な意味をもつ．Dirichelt L 関数の s = 0 での値を (あるいは部分ゼータ関数の s = 0 での値を)“束ね
て”作られる Stickelberger 元から p 進 (擬) 測度を構成し，これが本質的に p 進 L 関数であることを示す．
そのために，Deligne-Ribet [DRi80], Barsky [Bar78], Cassou-Nogu`es [CaN79] 等によって証明された部
分ゼータ関数の特殊値に関する 2 つの条件 C(p) と D(p) を認めて話を進める．条件 D(p) は Stickelberger
元の integrality に関するもので，Stickelberger 元から p 進 (擬) 測度を構成する際に用いられる．条件
C(p) は部分ゼータ関数の特殊値の間の合同式に関するもので，Stickelberger 元から構成した p 進 (擬)
測度から Dirichlet L 関数の s = 0 以外での値を取り出す際に用いられる．
1
p 進測度・p 進擬測度
p 進測度・p 進擬測度について極々簡単にまとめる．詳しくは [Se78] を参照されたい．G を副有限群
とする．G の Zp 上の完備群環 ΛG を次で定義する．
ΛG := lim Zp [G /H ]
←
ここで，H は G の開部分群すべてを渡る．ΛG の元を p 進測度 (p-adic measure) と呼ぶ．
関数 f : G → Cp が局所定数 (locally constant) であるとは，ある開部分群 H ⊂ G の各剰余類上で f
∑
が定数関数であることである．p 進測度 λ ∈ ΛG の Zp [G /H ] への像を s∈G /H λ(s)s と書く．f の G 上
の λ による p 進積分を次で定義する．
∫
∑
f dλ :=
f (s)λ(s).
G
s∈G /H
問題 1. 上の定義は H の取り方に依らないことを示せ．
一般の連続関数 f : G → Cp に対しては f に収束する局所定数関数列 {fn } を取り，
∫
∫
f dλ := lim
fn dλ
G
n→∞ G
と定義する．
1
′
問題 2. 連続指標 ψ : G → C×
p によって環準同型 ψ : ΛG → Cp が誘導される．λ, λ ∈ ΛG , g ∈ G に対し
て次の等式が成り立つことを確かめよ．
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ψdλ = ψ(λ),
ψd(λλ′ ) =
ψdλ ×
ψdλ′ ,
ψd(gλ) = ψ(g)
ψdλ.
G
G
G
G
G
G
Q(ΛG ) を ΛG の全商環とする．Q(ΛG ) の部分環 Λ∼
G を
Λ∼
G := {λ ∈ Q(ΛG ) | ∀g ∈ G , (1 − g)λ ∈ ΛG }
と定義する．Λ∼
G の元は p 進擬測度 (p-adic pseudo-measure) と呼ばれる．
∼
連続指標 ψ : G → C×
p , ψ ̸= 1 と，λ ∈ ΛG に対して,
∫
G
1
ψdλ :=
1 − ψ(g)
∫
G
ψd(1 − g)λ
と定義する．ただし，g ∈ G は ψ(g) ̸= 1 となるものを一つ選び固定している．
問題 3. 上の積分が g ∈ G の取り方に依らないことを確かめよ．
2
部分ゼータ関数と条件 C(p) ＆条件 D(p)
F を総実代数体，f を F の整イデアル，Cl(f) を F の mod f の射類群とする．C ∈ Cl(f) に対して，部
分ゼータ関数 ζf (C, s) を
∑ 1
ζf (C, s) =
N as
a∈C
と定義する．ここで a は C に属する F の 0 でない整イデアル全体を動く．C に属する F の整イデアル b
に対して，ζf (b, s) := ζf (C, s) とも書く．ζf (C, s) は Re(s) > 1 で絶対収束し，C \ {1} へ正則に解析接続さ
れ，s = 1 に 1 位の極をもつ．Siegel と Klingen によって，任意の自然数 n ≥ 0 に対して ζf (C, −n) ∈ Q
であることが示されている．
本講演で仮定する 2 条件 C(p) と D(p) は次の通りである．b, c, f を F の整イデアルで，(bc, f) = 1 な
るものとする．任意の自然数 n ≥ 0 に対して，
δn (b, c; f) := (N c)n+1 ζf (b, −n) − ζf (bc, −n)
とおく．
条件 D(p) p の上の F の任意の素イデアルが f を割るとき，δ0 (b, c; f) ∈ Zp .
条件 C(p) p の上の F の任意の素イデアルが f を割るとき，任意の n > 0 に対して，
δn (b, c; f) ≡ (N bc)n δ0 (b, c; f) mod #µ(Ff )Zp .
(ここで，Ff は F の modf の射類体，µ(Ff ) は Ff に含まれるベキ根のなす群である．)
2
M/F を導手 f のアーベル拡大とし，σ ∈ Gal(M/F ) に対して,
∑
ζM (σ, s) :=
ζf (C, s)
C
(C, M/F )=σ
と定義する．ここで (C, M/F ) は C の M/F における Artin 記号である．f と素な F の整イデアル c に対
して，
δn (σ, c; M ) := (N c)n+1 ζM (σ, −n) − ζM (σ(c, M/F ), −n)
∑
δn (b, c; f) である．
とおく．δn (σ, c; M ) =
b
(b,M/F )=σ
問題 4. χ : Cl(f) → C×
p を導手 f の Dirichlet 指標とする．
∑
(1) L(χ, s) = C∈Cl(f) χ(C)ζf (C, s) を確かめよ．
∏
(2) S を F の素点の有限集合とし，g = l.c.m.(f, p∈S p) とおく．次を確かめよ．
∑
LS (χ, s) =
χ(C)ζg (C, s).
C∈Cl(f)
問題 5. SM を M/F で分岐する F の素点から集合とする．上の結果を用いて次の等式を証明せよ．
∑
∑
θM (s) :=
ζM (σ, s)σ −1 =
LSM (χ−1 , s)eχ .
χ∈Gal(M/F )∧
σ∈Gal(M/F )
ここで，eχ =
1
[M :F ]
∑
σ∈Gal(M/F ) χ(σ)σ
−1
である．
問題 6. 条件 D(p) を用いて，
AnnZp [Gal(M/F )] (µp∞ (M )) · θM (0) ⊂ Zp [Gal(M/F )]
となることを示せ．
3
岩澤冪級数
記号は講演 §4 と同じとする．写像 cχ : ΛGal(M∞ /F ) → Oχ [[Γ]]; σ → χ(σ)σ|F∞ による (κ(σ) − σ)θM∞
χ
の像を (κ(σ) − χ(σ)γ τ (σ) )θM∞ と書くことにする．ここで，τ (σ) ∈ Zp は σ|F∞ = γ τ (σ) を満たすもので
χ−1 ω
ある．Serre の同型 Oχ [[Γ]] ≃ Oχ [[T ]]; γ → 1 + T によって，(κ(σ) − χ−1 ω(σ)γ τ (σ) )θM∞ はあるベキ級
数 fσ (χ, T ) ∈ Oχ [[T ]] と対応する．
G(χ, T ) :=
κ(σ) −
fσ (χ, T )
−1
χ ω(σ)(1
+ T )τ (σ)
∈ Q(Oχ [[T ]])
とおく．
問題 7.
(1) G(χ, T ) は σ の取り方に依らないことを示せ．
(2) G(χ, κ(γ)1−n − 1) = L{p} (χω −n , 1 − n) が成り立つことを確かめよ．
(従って，Lp (χ, s) = G(χ, κ(γ)s − 1) である．)
3
参考文献
[Bar78] Barsky, D., Fonctions zˆeta p-adiques d’une classe de rayon des corps de nombres totalement
r´eels, in: Groupe de travail d’analyse ultramˆetrique (5e ann´ee: 1977/78), Secr´etariat Math., Paris,
no 16, 1-23 (1978).
[CaN79] Cassou-Nogu`es, P., Valeurs aux entiers n´egatifs des fonctions zˆeta et fonctions zˆeta p-adiques,
Invent. Math., 51 (1), 29-59 (1979).
[Coa77] Coates, J., p-adic L-functions and Iwasawa’s theory, in: Algebraic number fields: L-functions
and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London,
269-353 (1977).
[DRi80] Deligne, P. and Ribet, K., Values of abelian L-functions at negative integers over totally real
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[La90] Lang, S., Cyclotomic Fields I and II (combined second edition) with appendix by Karl Rubin,
Springer-Verlag 1990.
[Se78] Serre, J.-P., Sur le r´esidu de la fonction zˆeta p-adique d’un corps de nombres, C. R. Math.
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[St90] Stickelberger, L., Uber
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[Tate84] Tate J., Les conjectures de Stark sur les Fonctions L d’Artin en s = 0, Progress in Math. 47,
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[Wa97] Washington, L., Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Math. 83, Springer-Verlag
1982.
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