p 進 L 関数の Stickelberger 構成 − 補足&演習問題 − 三浦崇 (鶴岡高専) 第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』初日 (2014 年 8 月 28 日) 0 概要 本講演では [Coa77] に従って総実代数体上の p 進 L 関数の構成方法の一つを紹介する.p 進 L 関数は Dirichelt L 関数の特殊値を p 進補間するような Zp \ {1} 上の p 進正則関数のことで,岩澤理論において 重要な意味をもつ.Dirichelt L 関数の s = 0 での値を (あるいは部分ゼータ関数の s = 0 での値を)“束ね て”作られる Stickelberger 元から p 進 (擬) 測度を構成し,これが本質的に p 進 L 関数であることを示す. そのために,Deligne-Ribet [DRi80], Barsky [Bar78], Cassou-Nogu`es [CaN79] 等によって証明された部 分ゼータ関数の特殊値に関する 2 つの条件 C(p) と D(p) を認めて話を進める.条件 D(p) は Stickelberger 元の integrality に関するもので,Stickelberger 元から p 進 (擬) 測度を構成する際に用いられる.条件 C(p) は部分ゼータ関数の特殊値の間の合同式に関するもので,Stickelberger 元から構成した p 進 (擬) 測度から Dirichlet L 関数の s = 0 以外での値を取り出す際に用いられる. 1 p 進測度・p 進擬測度 p 進測度・p 進擬測度について極々簡単にまとめる.詳しくは [Se78] を参照されたい.G を副有限群 とする.G の Zp 上の完備群環 ΛG を次で定義する. ΛG := lim Zp [G /H ] ← ここで,H は G の開部分群すべてを渡る.ΛG の元を p 進測度 (p-adic measure) と呼ぶ. 関数 f : G → Cp が局所定数 (locally constant) であるとは,ある開部分群 H ⊂ G の各剰余類上で f ∑ が定数関数であることである.p 進測度 λ ∈ ΛG の Zp [G /H ] への像を s∈G /H λ(s)s と書く.f の G 上 の λ による p 進積分を次で定義する. ∫ ∑ f dλ := f (s)λ(s). G s∈G /H 問題 1. 上の定義は H の取り方に依らないことを示せ. 一般の連続関数 f : G → Cp に対しては f に収束する局所定数関数列 {fn } を取り, ∫ ∫ f dλ := lim fn dλ G n→∞ G と定義する. 1 ′ 問題 2. 連続指標 ψ : G → C× p によって環準同型 ψ : ΛG → Cp が誘導される.λ, λ ∈ ΛG , g ∈ G に対し て次の等式が成り立つことを確かめよ. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ψdλ = ψ(λ), ψd(λλ′ ) = ψdλ × ψdλ′ , ψd(gλ) = ψ(g) ψdλ. G G G G G G Q(ΛG ) を ΛG の全商環とする.Q(ΛG ) の部分環 Λ∼ G を Λ∼ G := {λ ∈ Q(ΛG ) | ∀g ∈ G , (1 − g)λ ∈ ΛG } と定義する.Λ∼ G の元は p 進擬測度 (p-adic pseudo-measure) と呼ばれる. ∼ 連続指標 ψ : G → C× p , ψ ̸= 1 と,λ ∈ ΛG に対して, ∫ G 1 ψdλ := 1 − ψ(g) ∫ G ψd(1 − g)λ と定義する.ただし,g ∈ G は ψ(g) ̸= 1 となるものを一つ選び固定している. 問題 3. 上の積分が g ∈ G の取り方に依らないことを確かめよ. 2 部分ゼータ関数と条件 C(p) &条件 D(p) F を総実代数体,f を F の整イデアル,Cl(f) を F の mod f の射類群とする.C ∈ Cl(f) に対して,部 分ゼータ関数 ζf (C, s) を ∑ 1 ζf (C, s) = N as a∈C と定義する.ここで a は C に属する F の 0 でない整イデアル全体を動く.C に属する F の整イデアル b に対して,ζf (b, s) := ζf (C, s) とも書く.ζf (C, s) は Re(s) > 1 で絶対収束し,C \ {1} へ正則に解析接続さ れ,s = 1 に 1 位の極をもつ.Siegel と Klingen によって,任意の自然数 n ≥ 0 に対して ζf (C, −n) ∈ Q であることが示されている. 本講演で仮定する 2 条件 C(p) と D(p) は次の通りである.b, c, f を F の整イデアルで,(bc, f) = 1 な るものとする.任意の自然数 n ≥ 0 に対して, δn (b, c; f) := (N c)n+1 ζf (b, −n) − ζf (bc, −n) とおく. 条件 D(p) p の上の F の任意の素イデアルが f を割るとき,δ0 (b, c; f) ∈ Zp . 条件 C(p) p の上の F の任意の素イデアルが f を割るとき,任意の n > 0 に対して, δn (b, c; f) ≡ (N bc)n δ0 (b, c; f) mod #µ(Ff )Zp . (ここで,Ff は F の modf の射類体,µ(Ff ) は Ff に含まれるベキ根のなす群である.) 2 M/F を導手 f のアーベル拡大とし,σ ∈ Gal(M/F ) に対して, ∑ ζM (σ, s) := ζf (C, s) C (C, M/F )=σ と定義する.ここで (C, M/F ) は C の M/F における Artin 記号である.f と素な F の整イデアル c に対 して, δn (σ, c; M ) := (N c)n+1 ζM (σ, −n) − ζM (σ(c, M/F ), −n) ∑ δn (b, c; f) である. とおく.δn (σ, c; M ) = b (b,M/F )=σ 問題 4. χ : Cl(f) → C× p を導手 f の Dirichlet 指標とする. ∑ (1) L(χ, s) = C∈Cl(f) χ(C)ζf (C, s) を確かめよ. ∏ (2) S を F の素点の有限集合とし,g = l.c.m.(f, p∈S p) とおく.次を確かめよ. ∑ LS (χ, s) = χ(C)ζg (C, s). C∈Cl(f) 問題 5. SM を M/F で分岐する F の素点から集合とする.上の結果を用いて次の等式を証明せよ. ∑ ∑ θM (s) := ζM (σ, s)σ −1 = LSM (χ−1 , s)eχ . χ∈Gal(M/F )∧ σ∈Gal(M/F ) ここで,eχ = 1 [M :F ] ∑ σ∈Gal(M/F ) χ(σ)σ −1 である. 問題 6. 条件 D(p) を用いて, AnnZp [Gal(M/F )] (µp∞ (M )) · θM (0) ⊂ Zp [Gal(M/F )] となることを示せ. 3 岩澤冪級数 記号は講演 §4 と同じとする.写像 cχ : ΛGal(M∞ /F ) → Oχ [[Γ]]; σ → χ(σ)σ|F∞ による (κ(σ) − σ)θM∞ χ の像を (κ(σ) − χ(σ)γ τ (σ) )θM∞ と書くことにする.ここで,τ (σ) ∈ Zp は σ|F∞ = γ τ (σ) を満たすもので χ−1 ω ある.Serre の同型 Oχ [[Γ]] ≃ Oχ [[T ]]; γ → 1 + T によって,(κ(σ) − χ−1 ω(σ)γ τ (σ) )θM∞ はあるベキ級 数 fσ (χ, T ) ∈ Oχ [[T ]] と対応する. G(χ, T ) := κ(σ) − fσ (χ, T ) −1 χ ω(σ)(1 + T )τ (σ) ∈ Q(Oχ [[T ]]) とおく. 問題 7. (1) G(χ, T ) は σ の取り方に依らないことを示せ. (2) G(χ, κ(γ)1−n − 1) = L{p} (χω −n , 1 − n) が成り立つことを確かめよ. (従って,Lp (χ, s) = G(χ, κ(γ)s − 1) である.) 3 参考文献 [Bar78] Barsky, D., Fonctions zˆeta p-adiques d’une classe de rayon des corps de nombres totalement r´eels, in: Groupe de travail d’analyse ultramˆetrique (5e ann´ee: 1977/78), Secr´etariat Math., Paris, no 16, 1-23 (1978). [CaN79] Cassou-Nogu`es, P., Valeurs aux entiers n´egatifs des fonctions zˆeta et fonctions zˆeta p-adiques, Invent. Math., 51 (1), 29-59 (1979). [Coa77] Coates, J., p-adic L-functions and Iwasawa’s theory, in: Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London, 269-353 (1977). [DRi80] Deligne, P. and Ribet, K., Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields, Invent. math. 59, 227-286 (1980). [KL64] Kubota, T., and Leopoldt, H.-W., Eine p-adische Theorie der Zetawerte.I. Einf¨ uhrung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen, J. Reine Angew. Math. 214/215, 328-339 (1964). [La90] Lang, S., Cyclotomic Fields I and II (combined second edition) with appendix by Karl Rubin, Springer-Verlag 1990. [Se78] Serre, J.-P., Sur le r´esidu de la fonction zˆeta p-adique d’un corps de nombres, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 287, s´erie A, 183-188 (1978). ¨ [St90] Stickelberger, L., Uber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung, Math. Annalen 37 (1890), 321-367. [Tate84] Tate J., Les conjectures de Stark sur les Fonctions L d’Artin en s = 0, Progress in Math. 47, Birkh¨auser 1984. [Wa97] Washington, L., Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Math. 83, Springer-Verlag 1982. 4
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