No. 1

基礎物理学 Ia – 演習問題の模範回答
数学的な準備
問1
1. 解答例:
e3ix = (eix )3 が成り立つ。この両辺でオイラーの公式が成り立つことを用いれば、上の結
果が得られる。
2. 解答例:
e2ix = eix eix の両辺にオイラーの公式を適用し、cos 2x + i sin 2x = (cos x + i sin x)2 が成
り立つ。この両辺の実数部と虚数部が等しいとして、上の結果が成り立つ。
問 2 解答例:
1
eiπ/4 = cos(π/4) + i sin(π/4) = √ (1 + i),
2
1 √
eiπ/6 = cos(π/6) + i sin(π/6) = ( 3 + i),
2
√
1
(1 − i 3) = e−iπ/3
2
したがって、1 + i =
√ iπ/4
2e
√
よって、 ( 3 + i)2 = (2eiπ/6 )2 = 4eπi/3
問 3 解答例: これらの複素数の実部と虚部は以下のように表される。
z ∗ = 3 − 2i,
iz = −2 + 3i,
−z = −3 − 2i,
−z ∗ = −3 + 2i
図は省略。
問 4 解答例:
1
cos x = (eix + e−ix ),
2
sin x =
1 ix
(e − e−ix ),
2i
問5
f (x, y) = x3 y :
f (x, y) = sin(xy) :
f (x, y) = x2 e−x
f (x, y) = e−a(x
2 +y 2 )
f (x, y, z) = 1/
√
2 −y 2
:
sin(x + 2y) :
∂f
∂x
∂f
∂x
∂f
∂x
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
= x3
∂y
∂f
= y cos(xy),
= y cos(xy)
∂y
∂f
2
2
2
2
= (2x − 2x3 )e−x −y ,
= −2x2 ye−x −y
∂y
= 3x2 y,
= [−2ax sin(x + 2y) + cos(x + 2y)]e−a(x
2 +y 2 )
= [−2ay sin(x + 2y) + 2 cos(x + 2y)]e−a(x
x2 + y 2 + z 2 : df = −
(x2
+
1
(xdx + ydy + xdz)
+ z 2 )3/2
y2
,
2 +y 2 )
平均速度と瞬間速度
問3
1. 解答例:
1
v(t) = [sin(3ωt) − sin(ωt)] が成り立つ。したがって、
2
∫
A t ′
A
x(t) =
dt [sin(3ωt′ ) − sin(ωt′ )] = − [cos(3ωt) − 3 cos(ωt)]
2 0
6ω
2. 解答例:
∫
t
x(t) = B
0
t′
dt′ = B
t′ + t0
∫ t(
1−
0
t0
′
t + t0
)
dt′ = B[t − t0 log(1 + t/t0 )]
3. 解答例: 変数変換 s = t/τ を用いる
∫
x(t) = v0
0
t/τ
[
]t/τ
v0 t −t/τ
e
se−s ds = −v0 (1 + s)e−s 0 = v0 [1 − e−t/τ ] −
τ
力と運動
問1
1. 解答例:
鉛直下向き方向についてのみ重力を受けるので、Fx = 0, Fy = −mg が成り立つ。
2. 解答例:
速度についての定義より、vx = dx/dt, vy = dy/dt が成り立つ。また、加速度とニュート
ンの運動の法則より、
d2 x
d2 y
m 2 = 0, m 2 = −mg
dt
dt
3. 解答例:
x2 = 0, y2 = −g/2 と置けば、上のどちらの解も微分方程式を満たすことがわかる。ま
た、t = 0 の時の座標 x(0) = 0, y(0) = 0 から x0 = 0, y0 = 0 が成り立ち、初速度
vx (0) = v0 cos θ, vy (0) = v0 sin θ より、x1 = v0 cos θ, y1 = v0 sin θ が成り立つ。
問2
1. 解答例:
バネによる復元力 −kx と、重力 mg を受ける。
2. 解答例:
２つの力の釣り合いの条件 −kx + mg = 0 から、x0 = mg/k が得られる。
3. 解答例:
速度と加速度、および運動の微分方程式は以下のように表される。
v=
dx
,
dt
a=
d2 x
,
dt2
Page 2
m
d2 x
= −kx + mg
dt2
4. 解答例:
x
¨(t) = −ω 2 x(t) が成り立つ。これを微分方程式に代入すると次の式が得られる。
−mAω 2 cos(ωt + α) = −k[x0 + A cos(ωt + α)] + mg = −kA cos(ωt + α)
√
この式が成り立つための条件から、ω = k/m が得られる。
1. 解答例: ma = F = −kx が成り立つので、
問3
m
d2 x
= −kx
dx2
2. x(t) = A sin ωt と置いたとき、次の式が成り立つ。
d2 x
= −Aω 2 sin ωt = −ωx
dx2
√
したがって、mω 2 = k 、つまり ω = k/m が求まる。
3. 解答例:
dx
= −Aω cos ωt,
dt
1
1
1
1
E = mv 2 (t) + kx2 (t) = A2 (mω 2 cos2 ωt + k sin2 ωt) = kA2
2
2
2
2
v(t) =
問4
1. 解答例:
ma = −mω 2 x − mγv
2. 解答例:
dx
d2 x
+γ
+ ω2x = 0
2
dt
dt
問 5 省略
問 6
1. 解答例:
∂V
= −mg
∂z
2. 解答例: (y, z についても同様)
Fx = Fy = 0, Fz = −
Fx = −
3. 解答例: Fx = −
∂V
∂
1
g
√
= −g
=
∂x
∂x x2 + y 2 + z 2
2(x2 + y 2 + z 2 )3/2
∂V
= −kx, Fy = Fz = 0
∂x
問 7 解答例
力 F (x) は以下の式で与えられる。
dV (x)
F (x) = −
= v0
dx
(
2b
2
− 2
3
x
x
)
F (x) = 0 の条件から、x0 = b が求まる。ポテンシャルの略図は省略。
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