ラグランジュの運動方程式の例題 (津留 作成)
ラグランジアン ： L = K − U (K は運動エネルギー，U はポテンシャルエネルギー)
d ( ∂L ) ∂L
ラグランジュの運動方程式：
−
=0
dt ∂ q˙r
∂qr
O
1. 自由落下運動
ポテンシャルエネルギー：U = −mgx ,
働く力：F = −
dU
= mg
dx
x
1
mx˙ 2 + mgx
2
∂L
∂L
d
ラグランジュの運動方程式：
= mx,
˙
= mg,
(mx)
˙ − mg = 0, x
¨=g
∂ x˙
∂x
dt
1
一般解：x = gt2 + v0 t + x0
2
ラグランジアン： L =
mg
k
2. 水平なバネに取り付けられた質点の単振動
1
dU
ポテンシャルエネルギー：U = kx2 ,
働く力：F = −
= −kx
2
dx
1
1
ラグランジアン： L = mx˙ 2 − kx2
2
2
∂L
∂L
d
ラグランジュの運動方程式：
= mx,
˙
= −kx,
(mx)
˙ + kx = 0, m¨
x = −kx
∂ x˙
∂x
dt
√
一般解：x = A cos(ωt + α) (ω = k/m)
x軸
m
x
O
3. 垂直なバネに取り付けられた質点の単振動
バネの自然長の位置を原点に，鉛直下方に +x 軸をとる．
dU
1
働く力：F = −
= mg − kx
ポテンシャルエネルギー：U = −mgx + kx2 ,
2
dx
1
1
ラグランジアン： L = mx˙ 2 + mgx − mkx2
2
2
O
∂L
d
∂L
= mx,
˙
= mg − kx,
(mx)
˙ = mg − kx,
ラグランジュの運動方程式：
∂ x˙
∂x
dt
√
k
mg
mg
k
x
¨ = − (x −
), u = x −
と置くと u
¨ = − u = −ω 2 u (ω = k/m)
m
k
k
m
mg
mg
mg
x
一般解：x =
+u =
+ A cos(ωt + α) · · · 釣り合いの位置 x0 =
のまわりでの単振動
k
k
k
k
4. 連成振動
k1
m
k
m
右図のようにバネ定数 k ，質量 m の 2 つ
の振動子がバネ定数が k1 のバネでつながれ
x2
x1
ている系を考える．
ラグランジアンは
L=
m 2
k
k1
k
(x˙ + x˙ 22 ) − x21 − (x1 − x2 )2 − x22
2 1
2
2
2
ラグランジュの運動方程式を書くと
O
∂L
∂L
= mx˙ 1 ,
= −kx1 − k1 (x1 − x2 ), m¨
x1 = −(k + k1 )x1 + k1 x2 · · · 1
∂ x˙1
∂x1
k
m
O
∂L
∂L
= mx˙ 2 ,
= k1 (x1 − x2 ) − kx2 , m¨
x2 = k1 x1 − (k + k1 )x2 · · · 2
∂ x˙ 2
∂x2
解法 1 OO
xj = Aj eiωt (j = 1, 2) と置き 1 , 2 に代入する．
O1 より −mω A = −(k + k )A + k A , {mω − (k + k )}A + k A = 0 · · · O3
O2 より −mω A = k A − (k + k )A , k A + {mω − (k + k )}A = 0 · · · O4
O3 , O4 が A = A = 0 以外の解をもつには係数行列式が 0(永年方程式) でなければならない．
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
mω 2 − (k + k1 )
k1
k1
mω 2 − (k + k1 )
{mω 2 − (k + k1 )}2 = k12 , ω 2 =
= 0,
k + k1 ± k1
,
m
ω12 =
O
k
k + 2k1
, ω22 =
··· 5
m
m
固有ベクトル：
O
(a) ω = ω1 のとき、mω 2 = mω12 = k を 3 に代入すると −k1 A1 + k1 A2 = 0, A1 = A2
O4 に代入すると k A − k A
1
1
1
2
= 0, A1 = A2
いずれも A1 : A2 = 1 : 1 になる．これは、 ⃝−→ ⃝−→ のような同位相の運動を表している．
O
(b) ω = ω2 のとき、mω 2 = mω22 = k + 2k1 を 3 に代入すると k1 A1 + k1 A2 = 0, A1 = −A2
O4 に代入しても同じ式が得られ、いずれも A
1
: A2 = 1 : −1 になる．
これは、 ←−⃝ ⃝−→ のような逆位相の運動を表している．
一般解： xj = aj exp(iω1 t) + bj exp(iω2 t) (j = 1, 2)
解法 2 u1 = x1 + x2 , u2 = x1 − x2 と置くと，
O
x1 = (u1 + u2 )/2, x2 = (u1 − u2 )/2, x˙ 1 = (u˙ 1 + u˙ 2 )/2, x˙ 2 = (u˙ 1 − u˙ 2 )/2 · · · 7
O
を得る．これらを 1 に代入すると
L=
O
1
1
1
m (u˙ 21 + u˙ 22 ) − k u21 − (k + 2k1 ) u22 · · · 8
4
4
4
を得る．これから，ラグランジュの運動方程式を作ると
O
∂L
m
∂L
1
= u˙ 1 ,
= − ku1 , m¨
u1 = −ku1 · · · 9
∂ u˙1
2
∂u1
2
O
∂L
m
∂L
1
= u˙ 2 ,
= − (k + 2k1 )u2 , m¨
u2 = −(k + 2k1 )u2 · · · 10
∂ u˙ 2
2
∂u2
2
O9 , O10 から u と u は，それぞれ，O5 の角振動数 ω と ω で振動することが分かる．
O8 は u と u が分離しているので，L = L + L と書くことができる．ただし，
1
1
L1 =
2
1
2
1
1
m u˙ 21 − k u21 ,
4
4
1
L2 =
2
2
1
1
m u˙ 22 − (k + 2k1 ) u22
4
4
2
k
m
5. 2 原子分子
m
連成振動で両端のバネを切ると右図のような 2 原子分子になる．
L=
x2
x1
ラグランジアン：
O
2 原子分子
m 2
k
(x˙ 1 + x˙ 22 ) − (x1 − x2 )2 · · · 1
2
2
ラグランジュの運動方程式は次のようになる．
O
k(x − x ) · · · O
3
∂L
∂L
= mx˙ 1 ,
= −k(x1 − x2 ), m¨
x1 = −k(x1 − x2 ) · · · 2
∂ x˙1
∂x1
∂L
∂L
= mx˙ 2 ,
= k(x1 − x2 ), m¨
x2 =
∂ x˙ 2
∂x2
1
2
解法 1 OO
xj = Aj eiωt (j = 1, 2) と置き 2 , 3 に代入する．
O2 より −mω A = −kA + kA , (mω − k)A + kA = 0 · · · O4
O3 より −mω A = k A − kA , kA + (mω − k)A = 0 · · · O5
O4 , O5 が A = A = 0 以外の解をもつには係数行列式が 0(永年方程式) でなければならない．
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
mω 2 − k
k
k
mω 2 − k
= 0, (mω 2 − k)2 = k 2 , ω 2 = k ± k , ω12 = 0, ω22 = 2k · · · 6
m
m
O
固有ベクトルを求める．
O
(a) ω = ω1 = 0 を 4 に代入すると −kA1 + kA2 = 0, A1 = A2
O5 に代入すると kA − kA
1
2
= 0, A1 = A2
いずれも A1 : A2 = 1 : 1 になる．これは， ⃝−→ ⃝−→ のような並進運動を表している．
O
(b) ω = ω2 のとき，mω 2 = mω22 = 2k を 4 に代入すると kA1 + kA2 = 0, A1 = −A2
O5 に代入しても同じ式が得られ，いずれも A
1
: A2 = 1 : −1 になる．
これは， ←−⃝ ⃝−→ のようなバネの伸縮運動を表している．
解法 2 u1 = x1 + x2 , u2 = x1 − x2 と置くと，
O
x1 = (u1 + u2 )/2, x2 = (u1 − u2 )/2, x˙ 1 = (u˙ 1 + u˙ 2 )/2, x˙ 2 = (u˙ 1 − u˙ 2 )/2 · · · 7
O
を得る．これらを 1 に代入すると
L=
O
m 2
k
(u˙ 1 + u˙ 22 ) − u22 · · · 8
4
2
を得る．これから，ラグランジュの運動方程式を作ると
O
m
∂L
∂L
= u˙ 1 ,
= 0, m¨
u1 = 0 · · · 9
∂ u˙1
2
∂u1
3
O
∂L
m
∂L
= u˙ 2 ,
= −ku2 , m¨
u2 = −2ku2 · · · 10
∂ u˙ 2
2
∂u2
O9 から u˙ = (一定) を得る． u は重心の座標である．したがって，重心は等速並進運動する．
O10 から，2 原子間の距離 (変位)u はO6 の角振動数 ω で単振動する．
一般解は，u = v t + u , u = A cos(ω t + α) であり，これらをO
7 に代入すれば x と x が得られる．
1
2 1
1
2
1
0
0
2
2
2
1
j−1
6. １次元格子振動
j
2
j+1
ラグランジアン：
L=
xj−1
∞
∞
K ∑
m ∑ 2
x˙ j −
(xj − xj−1 )2
2
2
j=−∞
xj
xj+1
j=−∞
ラグランジュの運動方程式：
O
∂L
∂L
= mx˙ n ,
= −K(xn − xn−1 ) + K(xn+1 − xn ), mx¨n = K(xn+1 + xn−1 − 2xn ) · · · 1
∂ x˙n
∂xn
O
(a) 解法：xn = Aei(kna−ωt) と置いて 1 に代入してみる。
(b)
(c)
(d)
(e)
m(−iω)2 Aei(kna−ωt) = KAei(kna−ωt) (eika + e−ika − 2),
√ 4K
ka
K 2K
ka 2
2
2
(1 − cos ka) =
sin
, ω=2
−mω = K(2 cos ka − 2), ω =
sin · · · 分散関係
m
m
2
m
2
2π
時間的周期：T =
ω
2π
2π
空間的周期 (波長)：k(∆na) = kλ = 2π, λ =
, k=
(波数)
k
λ
ω
ω
位相速度：na = x と置くと位相が 0 の点は kx − ωt = 0, x = t = vp t より、vp (= ) の速度で移動す
k
k
る。vp を位相速度という。λ = vp T (1 周期 T の間に進む距離) という関係がある。
√
∂ω
K
ka
群速度を vg =
で定義する。今の場合、vg = a
cos
である。
∂k
m
2
(f) 分散：ω ∝ k の場合は位相速度 vp と群速度 vg が等しくなるが、今の場合は異なる。これを分散があると
いう。光の分散は、媒質中の光の速度、したがって屈折率が振動数 (波長) によって異なるために生じる現
象である。
参考 固有値・固有ベクトル
n 次の正方行列 A に対して，連立方程式 Au = λu が成り立つとき λ を固有値，u を固有ベクトルという．こ
の方程式は u = 0(自明な解) 以外の解をもつときのみ意味があり，そのときの λ は n 次方程式 (固有方程式)
O
の解として求められる．なぜならば，O
1 は (A − λE)u = 0 と変形でき，|A − λE | ̸= 0 ならばクラーメルの公式
を使って u = 0 となってしまうからである．言い換えると，O
1 は逆行列 (A − λE) が存在しない条件である．
|A − λE| = 0 (E は単位行列) · · · 1
−1
( )
n = 2 の場合を考える．A = ac db , u = (x, y) とおく．固有方程式は
a−λ
b
x
= 0··· 2
(A − λE)u = 0,
c
d−λ
y
O
4
すなわち，
(a − λ)x + by = 0
··· 3
cx + (d − λ)y = 0
O
となる．
2 元の連立方程式
kx + ly = 0
· · · (1)
mx + ny = 0 · · · (2)
が x = y = 0 以外の解を持つには (1) と (2) が同じ式，つまり，(1) を定数倍したものが (2) であればよい．比例
式で書くと k : m = l : n，内項の積＝外項の積から，kn − lm = 0 が成り立てばよい．書き方を変えると，係数
k l ) の行列式が
行列 B = ( m
n
O
|B| = kn − lm = 0 · · · 4
となる．このとき x, y の値は一義的に決まらず，比が決まるだけである．つまり，
O O
O
x
l
n
= − = − が成り立つ．
y
k
m
結局，n = 2 のとき固有方程式 1 は， 3 の係数行列式に 4 を適用すれば，
a − λ
b = (a − λ)(d − λ) − bc = λ2 − (a + d)λ + ad − bc = 0 · · · 5
|A − λE| = c
d − λ
O
のような λ についての 2 次方程式になる．
3 1
の固有値と固有ベクトルを求めよ．
例題 行列 A =
2 4
3−λ
1
であるから固有方程式は
解 A − λE =
2
4−λ
|A − λE| = (3 − λ)(4 − λ) − 1 × 2 = λ2 − 7λ + 10 = 0
となり，解 λ = 2, 5 を得る．
O
1) a = 3, b = 1, c = 2, d = 4, λ = 2 を 3 に代入すると
x + y = 0 · · · (1)
2x + 2y = 0 · · · (2)
が得られる．(1) 式を 2 倍したものが (2) になっており，どちらの式からも x : y = 1 : (−1) が得られる．固有ベ
クトルは u1 = (α, −α)(α は任意の定数) である．
O
2) a = 3, b = 1, c = 2, d = 4, λ = 5 を 3 に代入すると
−2x + y = 0 · · · (1)
2x − y = 0 · · · (2)
5
が得られる．(1) 式を (-1) 倍したものが (2) になっており，どちらの式からも x : y = 1 : 2 が得られる．固有ベク
トルは u2 = (β, 2β)(β は任意の定数) である．
固有ベクトルを |u| = 1 になるようにすることがある．これを，規格化するという．u1 , u2 を規格化すると
1
1
u1 = √ (1, −1), u2 = √ (1, 2)
2
5
となる．
物理の固有方程式
物理法則には，量子力学の波動方程式 Hψ = Eψ (H は演算子または行列，ψ は複素関数またはベクトル)
など，固有方程式の形をしたものが多い．
行列
a11
a12
· · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A=
..
..
..
..
.
.
.
.
.
an1 an2 .. ann
の要素が aij = aji を満たすとき A を実対称行列という．また，aij = a
¯ji (z = x+iy のときその共役複素数
は z¯ = x−iy ) を満たす複素行列 A をエルミート行列という．エルミート行列には実対称行列が含まれている．
O2 で言えば b = c である．このときO5 の判別式は D = (a + d) − 4(ad − bc) = (a − d) + 4b
2
2
2
>
= 0 となり，実
数解を持つ．すなわち，実対称行列 (エルミート行列を含む) の固有値は実数である．これは任意の n につい
て成り立つ．
連成振動の場合 連成振動は実対称行列の一つの例である．
ω = ω1 のときの固有ベクトルは u1 = (α, α)， ω = ω2 のときの固有ベクトルは u2 = (β, −β) である．規格化
すると u1 =
√1 (1, 1),
2
u2 =
√1 (1, −1)
2
になる．u1 と u2 の内積を計算すると u1 · u2 = 0 になる．つまり，u1
と u2 は直交している．これは，偶然ではない．
「任意の次数のエルミート行列では異なる固有値に対する固有ベ
クトルは直交する」という性質がある．このような固有ベクトルを「規格直交化されている」という．
6
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