2 + 1 i

複素解析 I 演習略解 No.2
√ (√
)
2-1 (1) ± 2 23 + 12 i
2-2 h → 0 のとき
(1)
(2)
(2)
√
3
2
+ 12 i, −
√
3
2
√
−i (3) 2(±1 ± i)
+ 12 i,
(z + h)3 − z 3
3z 2 h + 3zh2 + h3
=
= 3z 2 + 3zh + h2 → 3z 2 ,
h
h ( )
( )
nz n−1 h + n2 z n−2 h2 + · · · + hn
n n−2
(z + h)n − z n
=
= nz n−1 +
z
h + · · · + hn−1
h
h
2
→ nz n−1 ,
(3)
1
1/(z + h) − 1/z
=−
h
(z + h)z
よって導関数は (1) 3z 2
→ −
1
.
z2
(3) − 1/z 2 .
(2) nz n−1
2-3 各関数を f (z) とする．コーシー・リーマンの関係式は fx = −ify と書ける．ここで x, y はそれぞれ z の実部，
虚部で，fx , fy はそれぞれ f の x, y による偏導関数．
(1) f (z) = x − iy であるから，fx = 1, −ify = −i(−i) = −1. よって fx ̸= −ify ，したがって正則でない．
√
√
√
(2) f (z) = x2 + y 2 より fx = x/ x2 + y 2 , −ify = −iy/ x2 + y 2 ．よって fx ̸= −ify ，したがって正則でない．
(3) fx = ex (cos y + i sin y), −ify = −iex (− sin y + i cos y) = ex (cos y + i sin y) より fx = −ify ．また複素平面上い
たるところで x, y の関数として全微分可能である．よって複素平面上で正則である．
2-4 d(eit )/dt = ieit , ez ew = ez+w を用いて
∫
∫
(1)
∫
|z|=r
(2)
2π
reit (ireit )dt =
∫
0
ir2 e2it dt =
0
2π
z dz =
|z|=r
∫
2π
z dz =
−it
re
∫
2π
it
ir2 dt = 2πr2 i.
(ire )dt =
0
r2
r2 2it t=2π
[e ]t=0 = (1 − 1) = 0,
2
2
0
もちろん z = r(cos t + i sin t) を用いて計算しても同じ結果を得る．
2-5 それぞれの場合に f (z) = (az + b)/(cz + d) とおいて，条件を書き下して a, b, c, d を (正確にはそれらの比を) 求
める．(1) の場合は b/d = 1, (a + b)/(c + d) = 0, c = 0 から b = d = −a, c = 0. よって f (z) = −z + 1. 結果だけを記
すと
(1) 1 − z
(2) z/(z − 1)
(3)
1/z
2-6 a, b, c, d が実数であることから，有理化すると
w=
ac|z|2 + bd + (ad + bc) Re(z) (ad − bc) Im(z)
(az + b)(cz + d)
=
+
i
|cz + d|2
|cz + d|2
|cz + d|2
となるから，仮定より Im(w) > 0 となる．
2-7 まず，中心が c で半径が r > 0 の円の方程式は |z − c| = r と表されることを注意しておく．
w = f1 (x) = az (a ̸= 0) の場合: z = w/a を円の方程式 |z − c| = r に代入すると |w/a − c| = r すなわち
|w − ac| = |a|r を得る．これは中心が ac で半径が |a|r の円である．
w = f2 (z) = z + b の場合: z = w − b を |z − c| = r に代入すると |w − (c + b)| = r を得る．これは c + b が中心で
半径が r の円である．
w = f3 (z) = 1/z の場合．このときは一般に円の方程式 |z − c| = r すなわち |z − c|2 = r2 を |z − c|2 = (z − c)(z − c)
を用いて次のように書いておくと便利である:
|z|2 − (cz + cz) + |c|2 − r2 = 0.
(1)
z = 1/w を (1) に代入して ww を両辺に掛けると
(|c|2 − r2 )|w|2 − (cw + cw) + 1 = 0.
(2)
|c| ̸= r の場合: (2) の両辺を |c|2 − r2 で割ると
|w|2 −
(
)
c
c
1
w
+
= 0.
w
+ 2
|c|2 − r2
|c|2 − r2
|c| − r2
(1) を参考にして C =
(3) は
|c|2
(3)
c
1
r
となり
とおき，|C|2 − R2 = 2
を満たす R > 0 を求めると R =
2
2
2
−r
|c| − r
||c| − r2 |
|w|2 − (Cw + Cw) + |C|2 − R2 = 0
となる．これは中心が C で半径が R の円である．
|c| = r の場合は (2) は
cw + cw = 1
となる． c = |c|eiθ (θ ∈ R) と極形式で書いておくと，すなわち c の偏角を θ とすると，これは
Re (eiθ w) =
1
2|c|
(4)
となる．方程式 (4) は実部が 1/(2|c|) なる直線を原点を中心に −θ 回転して得られる直線である．
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上と同じことだが，次のような計算方法もある．
z = x + iy, w = u + iv, c = α + iβ とおくと x + iy = 1/(u + iv) = (u − iv)/(u2 + v 2 ) であるので x = u/(u2 + v 2 ), y =
−v/(u2 + v 2 ). これを円の方程式 (x − α)2 + (y − β)2 = r2 に代入して整理する．α2 + β 2 ̸= r2 のときは
(u − α/(α2 + β 2 − r2 ))2 + (v + β/(α2 + β 2 − r2 ))2 = r2 /(α2 + β 2 − r2 )2
となり，これは上で述べた円である．
α2 + β 2 = r2 のときは
2αu − 2βv + 1 = 0
であり，これは上で述べた直線である．
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2-8. 省略．

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