微分積分 II
2014/11/28
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問題
次の不定積分を求めよ。
∫
(i)
∫
1
dx
x(x − 3)
(ii)
1
dx
x(2x + 1)
∫
(iii)
3x
dx
x2 + x − 2
解答
部分分数分解を用いる。
(i) すべての x に対して、
1
A
B
= +
x(x − 3)
x
x−3
が成立するような定数 A と B を求める。両辺に x(x − 3) をかけて
1 = A(x − 3) + Bx
= (A + B)x + (−3)A
∴ A + B = 0, −3A = 1
1
1
∴A=− , B=
3
3
よって、
∫
}
∫{
1 1 1
1
− × + ×
dx
3 x 3 x−3
∫
∫
1 1
1
1
=−
dx +
dx
3 x
3 x−3
x − 3
1
1
1
+C
= − log |x| + log |x − 3| + C = log
3
3
3
x 1
dx =
x(x − 3)
(ii)
1
A
B
= +
x(2x + 1)
x
2x + 1
が成立するような定数 A と B を求める。両辺に x(2x + 1) をかけて
1 = A(2x + 1) + Bx
= (2A + B)x + A
∴ 2A + B = 0, A = 1
∴ A = 1, B = −2
よって、
∫
}
1
1
−2
dx
x
2x + 1
∫
∫
1
1
=
dx − 2
dx
x
2x + 1
1
dx =
x(2x + 1)
∫{
x +C
= log |x| − log |2x + 1| + C = log
2x + 1 (iii)
3x
3x
A
B
=
=
+
x2 + x − 2
(x + 2)(x − 1)
x+2 x−1
が成立するような定数 A と B を求める。両辺に (x + 2)(x − 1) をかけて
3x = A(x − 1) + B(x + 2)
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微分積分 II
2014/11/28
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= (A + B)x + (−A + 2B)
∴ A + B = 3, −A + 2B = 0
∴ A = 2, B = 1
よって、
∫
}
2
1
+
dx
x+2 x−1
∫
∫
2
1
=
dx +
dx
x+2
x−1
= 2 log |x + 2| + log |x − 1| + C = log |(x + 2)2 (x − 1)| + C
3x
dx =
x2 + x − 2
∫{
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