2014/11/21 1/3 (i) ∫ 1 (ax + b)2 dx (a ̸= 0) (ii) ∫ x2 √ x3 − 1 dx (iii

微分積分 II
2014/11/21
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問題
次の不定積分を求めよ（(i)–(iii) は置換積分、(iv）–(vi) は部分積分法を用いるとよい）。
∫
(i)
1
dx
(ax + b)2
∫
(a ̸= 0)
∫
(iv) x2 ex dx
√
(ii)
∫
(v)
∫
x2
dx
x3 − 1
(iii)
log x
dx
x
∫
(vi) xe−x dx
x log x dx
解答
C を積分定数とする。
(i) 置換積分の公式
∫
∫
f (x) dx = f {ϕ(t)}ϕ′ (t) dt + C
を用いる。ax + b = t とおくと、a ̸= 0 より、
x=
t−b
a
dx
1
= ,
dt
a
∴ dx =
dt
a
よって、
∫
1
dx =
(ax + b)2
∫
1 1
dt
t2 a
1 1
=− × +C
a
t
1
+C
=−
a(ax + b)
(ii) x3 − 1 = t とおくと、
dt
= 3x2
dx
∴ dt = 3x2 dx
よって、
∫
x2
√
dx =
x3 − 1
∫
1
1
√ × dt
t 3
∫
1 −1/2
=
t
dt
3
2
= t1/2 + C
3
2√ 3
=
x −1+C
3
(iii) log x = t とおくと、
1
dt
=
dx
x
∴ dt =
1
dx
x
よって、
∫
∫
log x
dx = t dt
x
1
= t2 + C
2
1
= (log x)2 + C
2
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微分積分 II
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(iv) 部分積分法の公式
∫
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∫
f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx + C
を用いる。
f (x) = x2 ,
g ′ (x) = ex ,
f ′ (x) = 2x
∫
g(x) = ex dx = ex
とおくと、
∫
ここで、第 2 項は
∫
x2 ex dx = x2 × ex − (2x) × ex dx
∫
∫
xex dx = xex − 1 × ex dx
∫
= xex − ex dx
= xex − ex = ex (x − 1)
であるから、
∫
∫
x2 ex dx = x2 ex − (2x) × ex dx + C
{
}
= x2 ex − 2 ex (x − 1) + C
= (x2 − 2x + 2)ex + C
(v) 部分積分法を用いる。
f (x) = x,
′
f ′ (x) = 1
g (x) = log x,
∫
∫
g(x) =
log x dx = x log x − x （例題 13.5 (3)）
∫
x log x dx = x × (x log x − x) − 1 × (x log x − x) dx
∫
∫
= x2 log x − x2 − x log x dx + x dx
∫
x2
= x2 log x − x2 − x log x dx +
2
∫
2
x
= x2 log x −
− x log x dx + C
2
ここで、第 3 項は左辺であるから
∫
x2
2 x log x dx = x2 log x −
+C
2
よって、
∫
x log x dx =
x2
x2
log x −
+C
2
4
(vi) 部分積分法を用いる。
f (x) = x,
g ′ (x) = e−x ,
f ′ (x) = 1
g(x) =
∫
e−x dx = −e−x
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とおくと、
∫
∫
xe−x dx = x × (−e−x ) − 1 × (−e−x ) dx
∫
= −xe−x + e−x dx
= −xe−x − e−x + C
= −(x + 1)e−x + C
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