(1) f(x)

微分積分 I 練習問題 2015.1
1. 次の関数 f (x) の導関数 f ′ (x) を求めよ（微分せよ）．
√
log(1 + x2 )
(1) f (x) = x2 + 1 (2) f (x) =
x
2. 次の不定積分を求めよ．
∫
∫
2
(1) (2x + 3x − 5) dx (2) (3x − 1)5 dx
∫
∫
1
(4) x sin 2x dx (5)
dx
2
x −1
3. 次の定積分の値を求めよ．
∫ 2
∫ π
2
2
x cos x dx
(1)
(x − 2x + 7) dx (2)
0
1
∫ 1
∫ 1
2
1
1
√
(4)
dx (5)
dx
2
1 − x2
0 x +1
0
∫
sin(3x − 1) dx
(3)
∫
(3)
0
1
2x
dx
x2 + 1
4. (1) 曲線 y = x2 − 1，直線 y = 3 および y 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに
１回転してできる立体の体積を求めよ．
(2) 半径 r の球の体積を，積分を使って求めよ．
5. 曲線 y =
x3 2
+ の 1 ≦ x ≦ 3 の部分の長さを求めよ．
24 x
6. 長さ 5 cm の針金の左の端から x cm のところの線密度が (x2 + x) g/cm のとき，
この針金の質量と重心の位置を求めよ．
[解答]
1. (1) f ′ (x) = √
x
x2 + 1
(2) f ′ (x) =
2 3 3 2
x + x − 5x + C
3
2
1
(3) − cos(3x − 1) + C
3 x − 1
1
+C
(5) log 2
x + 1
2. (1)
3. (1)
19
3
4. (1)
232π
15
5.
2
log(x2 + 1)
−
x2 + 1
x2
1
(3x − 1)6 + C
18
1
1
(4) − x cos 2x + sin 2x + C
2
4
(2)
π
π
π
− 1 (3) log 2 (4)
(5)
2
4
6
∫ r (√
)2
4πr3
2
2
r −x
dx =
(2) 4π
3
0
(2)
29
12
6. 質量
325
95
g ，重心は左の端から
(≒ 3.65) cm のところ．
6
26

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