z = ln( √ x + 1)

微分積分 I
2014/06/20
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問題
次の関数を x について微分せよ。
(1) z = ln(1 + x2 )
√
(2) z = ( x + 1)4
(3) z = x ln x
√
(4) z = ln( x + 1)
解答
自然対数の微分
{
}
d
1
ln x =
dx
x
と合成関数の微分公式を用いる。
{
}
d
g(f (x)) = g ′ (f (x)) × f ′ (x)
dx
(1)
f (x) = 1 + x2 = y,
z = g(y) = ln y
とおくと、
y ′ = 2x,
g ′ (y) =
1
y
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
1
= × 2x
y
2x
=
1 + x2
(2)
f (x) =
√
x + 1 = y,
z = g(y) = y 4
とおくと、
1
y′ = √ ,
2 x
g ′ (y) = 4y 3
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
1
= 4y 3 × √
2 x
√
2( x + 1)3
√
=
x
(3)
x ln x
なので、関数の積についての微分の公式
{
}
{
}
{
}
d
d
d
f (x) × g(x) =
f (x) × g(x) + f (x) ×
g(x)
dx
dx
dx
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微分積分 I
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を用いる。
f (x) = x,
g(x) = ln x
f ′ (x) = 1,
g ′ (x) =
とおくと、
1
x
したがって、
z ′ = f ′ (x) × g(x) + f (x) × g ′ (x)
1
= 1 × ln x + x ×
x
= ln x + 1
(4)
f (x) =
√
x + 1 = y,
z = g(y) = ln y
とおくと、
1
y′ = √ ,
2 x
g ′ (y) =
1
y
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
1
1
= × √
y 2 x
1
= √ √
2 x( x + 1)
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