第13回プリント

数学第十三回（部分積分法）平成 26 年 07 月 15 日
問 1. 部分積分法を使い, 次の不定積分および定積分を求めよ.
∫
∫
∫ 2
(1)
x cos 2x dx, (2) (x + 1)ex dx. (3)
x sin x dx,
∫ π2
∫ 1
∫ π2
(4)
x sin x dx, (5)
xe2x dx, (6)
x2 cos 3x dx.
0
0
0
問 2. 次の不定積分を求めよ.
∫ x
∫
(1)
e sin x dx, (2) e−3x cos 2x dx,
問 3. 次の不定積分を求めよ.
∫
∫
(1)
log x dx, (2)
x log x dx.
(3)
(3)
∫√
∫
e5x sin 3x dx.
x2 + 1 dx,
∫
sinn x dx とする. (以下積分定数は無視してよい)
(1) I0 , I1 を求めよ.
問 4. In =
(2) In を In−2 で表せ.
∫
∫
(3) sin4 x dx, sin5 x dx, を求めよ.
∫ π2
(4)
sin6 x dx を求めよ.
0
問 5. In :=
∫
tann x dx のとき, n ≧ 2 に対して
In =
1
tann−1 x − In−2
n−1
∫
∫
であることを示せ. また, 不定積分 tan4 x dx, tan5 x dx を求めよ.
∫
dx
(a ̸= 0) のとき, n ≧ 2 に対して,
問 6. In =
2
(x + a2 )n
{
}
x
1
+ (2n − 3)In−1
In =
2(n − 1)a2 (x2 + a2 )n−1
であることを示せ. また, I1 , I2 , I3 を計算せよ.
問 7. In =
∫
xn eax dx (a ̸= 0) のとき,
In =
であることを示せ.
xn eax
n
− In−1
a
a

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