演習問題11 + 答え

基礎数学 1,A1 演習問題 11
年学籍番号氏名
戦闘開始時点での戦闘員の数を x0 と y0 とし、時刻 t での生存している戦闘員の
数をそれぞれ x = x(t) と y = y(t) とする。
dx
dy
1.
= −Ay,
= −Ax0 /y0 とする。y0 = 2000 とする。x = 0 のとき y = 0 に
dt
dt
なったという、このときの x0 の値を求めよ。
2.
dx
dy
= Ay,
= Bx, A, B < 0, とする。
dt
dt
(1) このときはランチェスターの二次法則
x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 )
が適用されることを示せ。
(2) E = 1, x0 = 120, y0 = 80 とする。y は x を 3 分割することに成功し、まず
x の 1/3 と戦い滅ぼし、次に残りの半分と戦い滅ぼし、最後に残りと戦ったする。
x(t) = 0 のときの y(t) の値を求めよ。
基礎数学 1,A1 演習問題 11
年学籍番号氏名
戦闘開始時点での戦闘員の数を x0 と y0 とし、時刻 t での生存している戦闘員の
数をそれぞれ x = x(t) と y = y(t) とする。
dx
dy
x0
1.
= −Ay,
= −A とする。y0 = 2000 とする。x = 0 のとき y = 0 になっ
dt
dt
y0
たという、このときの x0 の値を求めよ。
x0
y 2 /2 − x を t で微分すると，
y0
d 2
x0
dy dx x0
x0
x0
(y /2 − x ) = y −
= −Ay + Ay = 0
dt
y0
dt
dt y0
y0
y0
y2
x0
より
− x = C(定数)
2
y0
y2
x2
t = 0 のとき y(0) = y0 , x(0) = x0 より 0 − 0 = C となり，
2
y0
y2
x0
y02 x20
y 2 − y02
x0
−x =
−
これより
= (x − x0 ),
2
y0
2
y0
2
y0
両辺を 2y0 倍して，
y0 (y(t)2 − y02 ) = 2x0 (x(t) − x0 )
x(t) = 0, y(t) = 0, y0 = 2000 とすると，2x20 = 20003 より x0 = 63, 245
√
x0 = 5000, y0 = 2000, x(t) = 0 とすると y(t) = 20002 − 25, 000 =
1993
dx
dy
2.
= Ay,
= Bx, A, B < 0, とする。
dt
dt
(1) このときはランチェスターの二次法則
x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 )
が適用されることを示せ。
dy
dx
= ABxy − ABxy = 0 より
Bx − Ay
dt
dt
( 2
)
d
y2
x
B −A
= 0 となり
dt
2
2
Bx2 − Ay 2 = C
x = x0 のとき y = y0 であるから、Bx20 − Ay02 = C
これより Bx20 − Ay02 = Bx2 − Ay 2 となり、E = A/B とおくと、
x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 )
(2) E = 1, x0 = 120, y0 = 80 とする。y は x を 3 分割することに成功し、まず
x の 1/3 と戦い滅ぼし、次に残りの半分と戦い滅ぼし、最後に残りと戦ったする。
x(t) = 0 のときの y(t) の値を求めよ。
最初の戦闘では x0 = 40 と y0 = 80 が戦った。このとき x の 40 が全
滅したとき 402 − 02 = 802 − y 2 より y 2 = 6400 − 1600 = 4800 となり、
√
y の戦闘員は y = 4800
次にこの戦闘員で x の 40 と戦ったとすると、402 = 4800 − y 2 より x
√
の 40 が全滅したときの y の戦闘員の数は y = 3200
さらに残りの 40 と戦い x が全滅したとき y の戦闘員の数は
√
ｙ = 1600 = 40

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