レクチャーノート

行列式 (Determinant)
劉　雪峰（Liu Xuefeng）
2014/05/14-24
行列式
1
行列式とは
• 連立一次方程式問題の可解性などの性質を表す量（計算式）
1.1
例
次の連立一次方程式を考える。
(
)(
)
a11 a12
x1
=b
a21 a22
x2
If a11 a22 − a12 a21 ̸= 0,
x1 =
a22 b1 − a12 b2
a11 a22 − a12 a21
x2 =
a21 b1 − a11 b2
a11 a22 − a12 a21
Remark 1.1 行列 A = (ai j) に関する量 a11 a22 − a12 a21 は一次方程式の可解
性を判断するための指標である。
1.2
定義
特別な場合
• (1) 1 × 1 行列 A の行列式　:
|A| = det(A) = a11
(2) 2 × 2 行列 A の行列式　|A| = det(A) = a11 a22 − a12 a21
(1)
一般的な正方行列の行列式の定義は？
定義 n × n 正方行列 A に関して、次の性質を持つ量（計算式）は A 行列式
という。
1) |In | = 1
2) ２つの行を入れ替えると、符号が変わる。
1
3) 行列の各行に関して、線形写像である。行列の第 i 行を ai として、行
列式を次の形に書く。
|A| = det(a1 , a2 , · · · , an )
(3.1) det(· · · , a
˜i + a
ˆi , · · · ) = det(· · · , a
˜i , · · · ) + det(· · · , a
ˆi , · · · )
(3.2) det(· · · , λai , · · · ) = λdet(· · · , ai , · · · )
練習
2 × 2 の場合、(1) を確認しなさい。
注意点
• det(A + B) ̸= det(A) + det(B) （反例を考えなさい）
• det(AB) = det(A)det(B) (後で説明する)
2
定義から分かる性質
性質４ A のある２つの行列が同じであれば、|A| = 0。　（定義の性質２に
よる分かる）
性質５行列の１つの行の k 倍を他の行に加えると、行列式は不変。（定義の
性質３による分かる）
性質６
行列の１つの行が 0 ベクトルであれば、|A| = 0。
性質７三角行列の行列式は対角成分の積である。（復習：下三角行列、上三
角行列の定義）
説明：以下は 3 × 3 の場合を考える。

a11
0
A =  a21 a22
a31 a32
性質 3.1）によって、
a11
0
a22
|A| = 0
a31 a32
0
0
a33
a11
+ a21
a31

0
0 
a33
0
0
a32
0
0
a33
=: |A11 | + |A12 |
A12 を２つ場合に区別して、|A12 | = 0 を説明する。
a) a11 = 0: 第１行が 0 になって、自明。
b) a11 ̸= 0: 第１行の −a12 /a11 倍を第２行に加えて、
第２行が 0 ベクトルと
なる。この作業で行列式は不変。よって、|A12 | = 0。よって、|A| = |A11 |。
同じように、A11 の第３行を展開して、|A| = |diag(a11 , a22 , a33 )| =
a11 a22 a33 が分かられる。
2
性質 8 |AB| = |A||B|
|B| ̸= 0 の時、以下の A の関数が A の行列式となることを証明すれば O.K.。
f (A) =
|AB|
|B|
(|B| ̸= 0)
|B| = 0 の時、以下の性質 10 による簡単に証明できる。
消去法の紹介
3
3.1
置換行列
２つの行を入れ替えるのは置換行列 P に対応する。置換行列の性質：
a) P P T = In
b) |P | = −1
3.2
消去法
正方行列 A に対して、以下の作業によって対角以下の成分を「消去」でき
る。当該作業は A の列を１つずつ処理する。列の番号を k と書いて、k の初
期値を k = 1 とする。
(1) A の第 k 列の対角の以下の非ゼロ要素を探し、非ゼロ要素が属する行
と第 k 行を入れ替える。全部 0 であれば、次の列に行く。行の入れ替え
に対応する置換行列を Ek と書く。入れ替えが要らない場合、Ek = I と
する。入れ替えられた行列はまた A と書く。
(2) 各 i = k + 1, · · · , n について、A の第 k 行の −aki /akk 倍を第 i 行に加
える。特に、ak+1,k , · · · , an,k が 0 になる。この作業に対応する行列を下
三角行列 Lk と書く。Lk の対角成分が 1、|Lk | = 1 を注意しなさい。
3
(3) k = k + 1, (1),(2) のような作業で A の第 k 列の対角成分とそれ以下の
要素を処理する。
以上の作業で、行列 A を第 n − 1 列まで処理し、上三角行列 U が求めら
れる。さらに、行列 A を以下のよになる。
(Ln−1 En−1 ) · · · (L2 E2 )(L1 E1 )A = U
例：
(2)
以下の行列 A を消去法によって行列式を計算する。
Remark 3.1 授業中は、上記の例の計算から、E1 , E2 , L1 , L2 を説明しなか
ら、消去法を解説する。
4
行列式の他の性質
性質 9 |AT | = |A|
証明：消去法によって、上三角行列 U を求める。式 (2) と性質 8 によっ
て、以下のことが分かる。
|Ln−1 En−1 | · · · |L2 E2 ||L1 E1 ||A| = |U |
さらに、|Ek | = −1 or 1, |Lk | = 1 を利用して、次ぎの式を得る。
)
(n−1
∏
|Ek |
|A| = |U |
k
式（2）の両辺の転置を考えると、|Ek | = |EkT | と |U | = |U T | によって、以下
のことが分かる。
(n−1
)
(n−1
)
∏
∏
T
T
T
|A | = |U |
|Ek | = |U |
|Ek |
k
k
従って、|A| = |AT |。
Remark 4.1 この性質によって、行列式の「行」に関する結論は「列」に対
しても成り立っている。
性質 10 |A| ̸= 0 ⇔ 行列が正則である. （ヒント：上三角行列 A の場合、当該結論が成り立つすることを証明する。そ
の後、
式 (2) を利用することで、
一般的な行列に対して、
性質 10 を証明できる。）
まず、対角行列 A の場合を考える。
4
(a)
|A| = 0 ⇒ 対角成分の１つが 0 ⇒ 正則ではない
(b) |A| ̸= 0 ⇒ 対角成分は 0 ではない ⇒ 逆行列 A−1 が対角行列かつ対角成
分 A−1
ii = 1/Aii 。すなわち、正則行列である。
下三角行列 A について、以下２つのことを証明すれば十分。
|A| ̸= 0 → A が正則
|A| ̸= 0 によって、A の対角成分が 0 にならない。A を消去法によって対
角行列 Λ までに変形できる。特に、A の対角成分と対角以上の成分が変わら
ないことを注意する。
Ln−1 · · · L2 L1 A = Λk
(a)
ですので、A の対角成分と Λ の成分は同じである。よって、Λ は正則行列
である。A の逆行列は Λ,Lk , Ek の逆行列の積を使って表現できる。よって、
A の逆行列が存在することが分かる。
(b) |A| = 0 → A が正則ではない
|A| = 0 の時、A の対角成分 Akk = 0 かつ Aii ̸= 0 (1 ≤ i < k) と仮定する。
以下は「x ̸= 0 かつ xA = 0」を満たす x を作る。
A の第１列から k − 1 列まで消去法を行って、Λk まで変形できる。
Lk−1 · · · L2 L1 A = Λk
特に、Λk の第 k 行は 0 となることは分かる。以下のように xk を定義すると、
xk Λk = 0 が分かる。
xk = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)
(第 k 成分のみ 1 である。)
よって、
xk Lk−1 · · · L2 L1 A = 0
行列 Li が正則であるので、x := xk Lk−1 · · · L2 L1 ̸= 0 を簡単に証明できる。こ
の x について、x ̸= 0 かつ xA = 0。よって、A が正則行列にならないことは
分かる。
5
補題
補題 1 正則な行列 A について、「x ̸= 0 → Ax ̸= 0」
証明：Ax = 0 とすると、A−1 (Ax) = 0 が分かる。また、A−1 Ax = (A−1 A)x =
Ix = x ̸= 0 によると、矛盾になる。
補題 2 x ̸= 0 かつ Ax ̸= 0 の場合、A は正則行列にならない。
5

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