第7回の宿題の解答

経済数学入門 — 初歩から一歩ずつ —
第 7 回の宿題の解答
練習 1
今回の宿題の解答において U (q) と π(q) に対して，
W (q) = U (q) + π(q)
を定義します．次の問いに答えて下さい．
(1) W (q) に価格 p が入っているか．
(2) W (q) を最大化する q を求めなさい．
(3) それは何に等しいか．
答え 1
与えられた W (q) は，下記になる．
µ
¶
1
q2
W (q) = U (q) + π(q) = − q 2 + q − pq + pq −
2
2
µ
¶2
1
1
= −q 2 + q = − q −
+
2
4
よってこの関数 W (q) には，価格が入っておらず，それは価格に関連していない．この関
数の最大点は q = 1/2 のとき，最大値 W (1/2) =
1
4
となる．均衡取引数量は，q = 1/2 で
あった．均衡取引数量は，純効用と利潤の和である総余剰を最大にする数量である．この
計算により総余剰を最大にするかどうかは，取引価格には関係がないことが分る．
練習 2 今回の宿題の解答において，価格 p を明示的に取り扱い新たに
π(q, p) を定義します．
π(q, p) = pq −
q2
2
このとき，π(q, 1/4)，π(q, 1/2)，π(q, 1) の式を導出して，q − π 平面にそれ
らのグラフを描いて下さい．
答え 2
与えられた式より π(q, 1/4) = q/4 − q 2 /2，π(q, 1/2) = q/2 − q 2 /2，π(q, 1) =
q − q 2 /2 となる．よって，下記の 2 次関数のグラフを描けば良い
π1 =
q2
q
− ,
4
2
π2 =
q
q2
− ,
2
2
1
π3 = q −
q2
2
グラフは下図のようになる．
π
π3 = q −
1
2
1
q2
2
π2 =
1 8
32
q
2
−
q2
2
q
0
π1 =
q
4
−
q2
2
図 1: 価格 p = 1/4， p = 1/2， p = 1 の時の利潤のグラフ
練習 3
対数法則を指数法則を用いて証明して下さい．
loga xy = loga x + loga y
x
loga = loga x − loga y
y
loga xy = y loga x
答え 3
(1) loga xy = loga x + loga y. まず，loga x = p と loga y = q と置く．対数の定
p
義より，a = x と aq = y となる．ここで，x と y の積を考えると，xy = ap · aq = ap+q
になる．ここで両辺に対数の定義を適用すると
loga xy = p + q = loga x + loga y
(2) loga
x
y
p
= loga x − loga y. (1) と同様に p と q と置く．そして，それらの商を考えて，
x/y = a /aq = ap−q となる．ここで両辺に対数の定義を適用すると
loga
x
= p − q = loga x − loga y
y
(3) loga xy = y loga x．まず，loga x = p と置く．対数の定義より，ap = x となる．この
両辺を y 乗すると，apy = xy となる．ここで両辺に対数の定義を適用すると
loga xy = py = loga x · y
よって，
loga xy = y loga x
2
練習 4
(1)
下記の区間で定義された関数は，最大値や最小値を持つだろうか．
g : [0, 1) → R, g(x) =
答え 4
1
1−x
問題の関数のグラフは下記になる．この関数は単調増加関数なので，x = 0 の
y
x
1
1−x
図 2: g(x) =
のグラフ
ときに，最小値 1 を取る．この x が 1 に近づけば近づくほど大きくなるので最大値は存
在しない．
練習 5 関数 h(x) = x の導関数は h0 (x) = 1 となることを確かめてくだ
さい．
答え 5
導関数の定義は，f 0 (x) = limh→0
f (x+h)−f (x)
h
だった．それに当てはめると
h(x + h) − h(x)
(x + h) − x
h
=
= =1
h
h
h
(h → 1)
となる．よって， h0 (x) = 1 が成り立つ．
今回の新しい宿題です
練習 1 ある価格 p に対して関数 π(q, p) を q について最大化する q は，
q = p でした．それを関数として q(p) = p と置きます．その時，下記の関
数 v(p) を定義します．
v(p) = π(q(p), p)
3
この関数を利潤関数といいます．この関数を求めて下さい．また，この関
数のグラフを p − π 平面に描いて下さい．
練習 2 次に，下記の利潤の式に q = 1/4，q = 1/2，q = 1 を代入した式
を求めて下さい．
π(q, p) = pq −
q2
2
このとき，π(1/4, p)，π(1/2, p)，π(1, p) の関数のグラフを p − π 平面にそ
れらのグラフを描いて下さい．この時に，関数 v(p) のグラフと同じ平面に
描いて下さい．この時に，π(1/4, p)，π(1/2, p)，π(1, p)，v(p) の図形的な位
置関係はどうなっているか．
4

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