2. 定積分

２.
基本事項
定積分
《定積分》
1.定積分の公式

①

②
b
a
b
a
a
f ( x ) dx    f ( x ) dx
b
b
k f ( x) dx  k  f ( x ) dx

④

⑤
b
b
a
a
b
a
b
a
a
a
f ( x) dx  0
（ k は定数）
a
  f ( x)  g ( x) dx  
③

特に
b
f ( x ) dx   g ( x ) dx
（複号同順）
a
c
b
a
c
f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
[ 積分区間の分割 ]
b
f ( x) dx   f (t ) dt
[ 積分変数の変更 ]
a
2.偶関数・奇関数の定積分
3
① f ( x) が偶関数
 f ( x) 
② f ( x) が奇関数
 f ( x)   f ( x) 
なら,
なら,

a
a

a
a
a
f ( x) dx  2  f ( x) dx
0
f ( x ) dx  0
定積分の置換積分法
x  g( )t , a  g(

4
f ( x) 
b
a

) , b のとき
g( )
f ( x)dx   f  g (t ) 


dx
dt   f  g (t )  g (t ) dt

dt
定積分の部分積分法

b
a
f ( x )g  x( dx)  f x g( x ) ba ( )f  x g x dx
( )
b
a
45
( )
【秘伝８４】 (定積分と式)
次の定積分の値を求めよ。

(1)
4
1


(3)
4
6
( x  1)2
dx
x
(2)
cos 2 x
dx
sin 2 x
(4)

2
1

x
dx
x  x6
2
e2 x  1
dx
ex 1
log 4
log 2
【秘伝８５】 (定積分の置換積分法)
次の定積分の値を求めよ。

(1)

(3)
0
2

0
x3
dx
(1  x)2
(2)
sin x
dx
2  cos x
(4)

3
0

1
0
x 4  x dx
dx
e (e x  1)
x
【秘伝８６】 (特殊な定積分の置換積分法)
次の定積分の値を求めよ。

(1)
1
dx
0
4 x
(2)
2

dx
3  x2
1
0
【秘伝８７】 (定積分の部分積分法)
次の定積分の値を求めよ。

(1)
3
2
( x  2) ( x  3)3 dx
(2)


3
0
x sin 2 x dx
【秘伝８８】 (定積分の絶対値)
次の定積分の値を求めよ。

2
1
x  1 dx
46
(3)

e
1
log x
dx
x2

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