B A C q O - ele.tottori

1
2014/10/01
電磁気Ⅱ 演習問題
学籍番号
氏名
採点者：学籍番号
氏名
1. 図のように原点Oに点電荷 q (>0) があるとき，
(1) 原点から r の位置での電場 E (r ) を求めよ．（Coulombの法則）
A
また，その向きを図に描き入れよ.
(2) E (r ) を半径 r の閉球面 S 上で面積分せよ．（Gaussの法則）
(3)
(4)
r での電位  (r ) を求めよ．電位の基準点 r0 を r0  
E (r ) を原点を中心とした半径 r の扇形の閉曲線 C
とする．
C
Oq
（OABO）を一周する線分上で線積分せよ．（渦なしの法則）
2. 次の量の単位を基本単位（kg, m, s, A）で表せ．組立単位のあるものは，それも示せ．
(1) 力 F
(2) 速度 v
(3) 電流 I
(4) 電流密度 j
(5) 電荷 q
(6) 電荷（体積）密度 
(7) 電場 E
(8) 電位（静電ポテンシャル） 
(9) 電気容量 C
(10) 真空の誘電率 0
B
2
[解]
1. 右図のように原点Oに点電荷 q (>0) があるとき，
(1) 原点から r の位置での電場 E (r ) を求めよ．（Coulombの法則）
また，その向きを図に描き入れよ.

電荷から出る電気力線の総数 q /  0

 E (r ) 
4 r 2
全断面積


向きは原点からr に向かう方向だから


E (r )  q 1 r

 0 4 r 2 r
(2)
E (r )
r
を半径
の閉球面
S
上で面積分せよ．（Gaussの法則）
電荷から出る電気力線の総数
　 E (r )  dS
S
 E (r )   dS [E は半径 r の球面上では同じ ]
S

1 r
 dS [r //E (r )//dS だから]
 0 4 r 2 r S

1
 0 4 r 2
q
q

S
dS 
1
q
 4 r 2 
2
 0 4 r
0
q
すなわち，　 E (r )  dS 
S
(3)
r
での電位
 (r )
q
：Gaussの法則  E (r ) 
0
を求めよ．電位の基準点
r0
を
r0  

0
 q  
V
 (r )dV 

とする．
potential :「電場から受けるCoulomb力に逆らって，r とは逆向き dr  に沿って
単位電荷を r まで運ぶときに必要な仕事」
r
 (r )   E (r )  dr 

[ E (r ) / /dr  の積分経路をとると]
r
q 1 
q
  
dr   

2

0
  0 4 r  
1
q 1
1
q 1
dr   
[  ]r 
2
 4 r 
 0 4 r 
 0 4 r

r
(4)
E (r )
を原点を中心とした半径
r
3
の扇形の閉曲線 C （OABO）を一周する
線分上で線積分せよ．（渦なしの法則）

 E (r )  dr  A E (r )  dr  B E (r )  dr  O E (r )  dr
O
A
B
 C

O  A間では，E (r )とdr は同じ向き



ここで  A  B間では，E (r )とdr は直交

 だから

B  O間では，E (r )とdr は逆向き 


A


r q
r
1 
q 1 
dr

0
dr
dr  0
 






2
2

0  4 r
0
 0

  0 4 r 

すなわち， E (r )  dr  0 : 渦なしの法則    E (r )  0
C
C
E
Oq
2. 次の量の単位を基本単位（kg, m, s, A）で表せ．組立単位のあるものは，それも示せ．
(1) 力 F
F=md2r/dt2  kg m s-2 ≡N: Newton
(2) 速度 v
 m s-1
(3) 電流 I
 A: Ampere
(4) 電流密度 j
j=I/(面積)
 A/m2= A m-2
(5) 電荷 q
I=dq/dt
 A s ≡C: Coulomb
(6) 電荷（体積）密度 
=q/(体積)
 A s m-3
(7) 電場 E
F=qE
 kg m s-2/A s=kg m s-3 A-1
(8) 電位（静電ポテンシャル）
 kg m s-3 A-1m=kg m2 s-3 A-1 ≡V: Volt
E=-
(9) 電気容量 C
C=q/V
 (A s)/( kg m2 s-3 A-1)=kg-1 m-2 s4 A2 ≡F: Farad
(10) 真空の誘電率 0
F=q1q2/(40r2)  (A s)2/(m2 kg m s-2)=kg-1 m-3 s4 A2
B

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