平成 26 年 6 月 25 日松葉情報科学専攻平成２６年度「非線形情報学」第３回レポート課題７月２３日の講義時に提出レポート（グラフ，表以外）は手書きで！課題１：学生番号：偶数マンデルブロ図 x ， y を実数として，複素数を z  x  iy とする．初期値 z0 から出発して， zn  zn21  c にしたがって，zn を求める．これは変数を複素数に拡張したロジスティック写像で，複雑な挙動が想像できる．ここで， c  cx  ic y は適当な複素数で，実部を cx ，虚部を c y とする．パラメータ k ， nk を導入して， | zn | k ，あるいは， n  nk が満たされる限り上式を繰り返す．cx ，c y の値をいろいろ変えて，複素平面 (cx , c y ) 上に，最後の n （ n  nk ）に応じて，濃淡を描いた図をマンデルブロ図という．パラメータをたとえば k  2 ，nk  50 ，z0  c として，2.2  cx  0.5 ， 1.2  cy  1.2 の範囲（上記パラメータは一例で，いろいろ変えて実行しよう）で，マンデルブロ図を描け（講義資料の図と比較しよう）．また， zn ， c を実数として， c を横軸をとした分岐図を描き，マンデルブロ図との関係を調べよ．本課題の意義：カオスとフラクタルの関連．学生番号：奇数ジュリア集合ジュリア集合とは，固定した (cx , c y ) に対して（例えば (cx , cy )  (0.3, 0.5) ），初期値 z0  x0  iy0 の ( x0 , y0 ) をいろいろ変えて，上記の方法で求まった最後の zn を，複素平面 ( x0 , y0 ) 上に描いた集合である．上記パラメータでは， 1.5  x0  1.5 ，1.5  y0  1.5 の範囲で描くと全体像が見える．上記パラメータは一例で，いろいろ変えて，ジュリア集合を描け．本課題の意義：ジュリア集合はしばしばドラゴンの図と呼ばれが，確かめよう．課題２：エノン写像は以下のような 2 成分の写像として与えられる．  xn  1  yn 1  a xn21   yn  b xn 1 ( x, y) 相平面上に，初期値を適当に定めて，軌道 ( xn , yn ) を描け．特に，パラメータ a，b をいろいろ変え，どのようなアトラクタになるか，調べよ．本課題の意義：2 次元システムのカオスとしてしばしば研究に用いられ，フラクタル構造が視覚的に確認できる簡単な例である．課題３：3 成分のシステム x  y   y   x  yz  z  1 y2  を考える．初期値（例）を ( x(0), y(0), z(0))  (1, 0.01,0.2) として， ( x, y, z ) 相空間内に描いた解 z t 1 y 0.75 0 -1 0.5 0.25 0.5 z 0 2 -0.5 4 6 8 10 -0.25 -0.5 -1 0 x 1 -0.75 軌道を左図に示す．カオスになっている．数値計算方法は，例えば，ルンゲクッタ法を用い，刻み幅は t  0.01 とする．（３－１）ポアンカレ平面を， z0 として， z  0 を横切る位置 ( xn , yn ) を図示せよ．ここで， n はポアンカレ平面を横断する順番に付けた番号である．たとえば，最初に z (t1 )  0 となる時刻 t1 は， z (t ) を示した右図から分かるように t1  1.60 となり，最初にポアンカレ平面を横切る位置は ( x1 , y1 )  ( x(t1 ), y(t1 )) で与えられる．t1  1.60 以降は， z (t ) が正から負に変わる時刻 tn を求めて， ( xn , yn )  ( x(tn ), y(tn )) を作成すればポアンカレ平面上の写像が得られる．また， (tn  tn1 , tn1  tn2 ) がどのようなグラフになるか調べよう．（３－２）初期値を，1  x(0), y(0), z(0)  1 の範囲で一様乱数を用いて設定する．いろいろな初期値に対して，（１）の計算を繰り返し，( xn , yn ) を図示する．どのようなフラクタルが得られるか調べよう．本課題の意義：ポアンカレ平面上での挙動を数値的に調べ，カオスアトラクタのフラクタル構造を引き出す．課題４：マンデルブロ図のフラクタル次元を求めよ．フラクタル図形とは，その図形の小さな一部分を拡大すると，元の図形と同じ図形になるような図形のことを言う．つまり，どの部分をとってみても，縮尺が異なるだけで，元の図形と同じ構造を持つ．課題１で作成したマンデルブロ図のフラクタル次元（ボックス次元と情報次元）を求めよ．もし作成できなかった場合は下図（どちらでも構わない）をスキャナで読み取ったデータを用いてもよい． t （参考）ボックス次元を求める手順の例 512×512 の画像データ(0，1)の例（１）対象の図形を用意し，その大きさを，例えば，256x256 にとる．  を 1/2（この時，128x128 のセルが４個できる）から 1/26（この時，2x2 のセルが 4096 個できる）程度まで分割する．（２）各  に対し，セルに０（図形が存在しない場合）と１（図形が存在する場合）を割り当てる．セルのうち 1 となる数 N ( ) を数える．（３）両対数グラフにおいて， N ( ) をプロットし，直線回帰してその傾きであるボックス次元である．スケーリング領域を確認し，すべての  に対する N ( ) を使うべきかどうかは，各自で判断せよ．参考課題５（クリアすれば，ボーナス点を付与）フラクタルと思えるような自然にある絵あるいは図（何でもＯＫ）を用いて，そのフラクタル次元（ボックス次元）を求めよ．以上