none - 東京薬科大学生命科学部へようこそ

軸が３次元に見えない方のために。
1
身近な所で軸を探すと
階段
廊下
研究４号館の
入り口
2
軸を書いてみると
階段
廊下
研究４号館の
入り口
3
写真を薄くすると、
4
写真をさらに薄くすると
5
写真を消すと
6
運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量  速度
2
7
運動量と運動エネルギーの比較
1
2
mv
p  mv
2
・運動量はベクトル：速度の方向を向いている。
運動エネルギーはスカラー
・どちらも質量に比例。速度に依存する。
・両方とも力を加えると変化する。
t2
P1
1
1
2
2
p2  p1  Fdt
m
v

m
v

F

d
r
1
0

t1
P0
2
2

運動量は力x時間、運動エネルギーは力x距離。
8
偏微分：２変数以上の関数で、１つの変数について微分する
教科書p.376
p ( x, y )
 q ( x, y )
x

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
「偏微分（へんびぶん）」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
問題：関数z=p(x,y)=xyを図示せよ。
また
p ( x , y )
を求めよ。
x
y
x
9
z=xyのグラフ
・原点、x軸、y軸を通る。
・第1象限、第３象限でz>0,
他の象限でz<0
・y一定で、(x,z)=(0,0)を
通る直線。
傾きは、y。
・x=yの時、z=x2の放物線
gnuplotを
使って書いた。
10
場（ば）
field
空間の各点で、スカラー（数字）やベクトルが
定義されている。
y
スカラー（数字）の場合
y=f(x)
１次元上（変数１個）なら、２次元のグラフ。
曲線で書ける。
x
２次元上（変数２個）なら、３次元のグラフ。
曲面で書ける。
z
y
x
11
場の微分を考える。（後で電磁気でも使う。）教科書p.27
    
grad  
,
,

y
z 
 x
グラジエント、と読む。
問題１
 ：ファイ
（ギリシャ文字）
「勾配」の意味。



   ,
,

 x y z 
grad  
問題２
←ベクトル
を使えば、  ナブラ演算子とも
呼ぶ。
逆三角形。
と書けることを示せ。
（Δではない）
 ( x, y )  xy に対して
grad を計算して図示せよ。
ヒント：(x,y)平面のいろいろな点で、矢印を書く。
12
問題の解答
問題１




   ,
,
 x y z 
grad  
を使えば、
と書けることを示せ。
  
    
  grad
   , ,   
,
,
 x y z 
 x y z 
注意


x
grad
は右側の物を微分する。
順番を変えると意味が変わる。
grad
は
 grad
13
と書いてはいけない。
問題２の解答
 ( x, y)  xy
grad
  xy

y
x
に対して
を計算して図示せよ。

x
y
   
grad    ,   ( y, x)
 x y 
xy平面で、ベクトル場(y,x)を描く。
書き方：
点(x,y)において、始点が(x,y)にして、
ベクトル（y,x）を描く。
14
ベクトル場
xy平面で、ベクトル場(y,x)を描く。
書き方：
点(x,y)において、始点が(x,y)の矢印(y,x)を描く。
例
(1,0)点でベクトル（0,1)
(-1,0)点でベクトル（0,-1)
y
0
1
x
15
斜面の例
z  ( x, y)  x
は平面を表す。
斜めの面を無限まで
延長した平面
(チーズを斜めに切った
ような面）
z
y
x
この面の傾きを考える。
16
斜面
z  ( x, y)  x
グラジエントを計算する。
 x

1
x x
 x
(yで偏微分する時は、ｘは定数と見る

 0 ため）
y y
y
   
grad   ,   (1,0)
 x y 
x
17
斜面
z  ( x, y)  x
上から見ると、
y
P
P
z
y
x
x
0
点Pでの勾配（傾斜、傾き）を考える。
赤い方向は、坂を上がる。勾配が最大。
青い方向は、同じ高さ。勾配ゼロ。
緑の方向は、坂を下る。
z  ( x, y)  x のグラジエントは、
grad ( x, y)  (1,0) で赤い方向になっている。
グラジエントベクトルの方向は、勾配が急な方向。
大きさは、坂の勾配に等しい。
18
gradの幾何学的意味。
df
１変数の関数f(x)なら、
dx
は曲線y=f(x)の傾き。
(高校の数学)
２変数関数g(x,y)の場合：
z=g(x,y)とすると３次元空間内の曲面になる。(例はg=xy)
曲面上の点Pを決めても、傾きは方向によって違う。
変分を考えると、
g
g
dg 
dx 
dy  ds  grad g
x
y
ds  (dx, dy)
grad gは場所を決めると、方向も含めて１通りに決まる。
変分(dx,dy)は、grad gと同じ方向にするとdgが最大になる。
つまりgの変化が最大になる。
傾きがベクトルgrad gの長さになる。
３変数関数φ(x,y,z)の場合も同様。
19
grad φは、φの変化が最大になる方向を向き、大きさは勾配
    

grad  
,
,
y
z 
 x
グラジエント
関数をxで偏微分したものをx成分にする。
gradの図形的意味：２変数x,yの場合
z   ( x, y)
の傾きが最大になる方向が
例：山を登る場合。
grad
z

x はy一定の時のx方向の変化。
  と 
20
grad

の大きい方に近い方向を、
は向く。
y
x
z=xyのグラフ
・原点、x軸、y軸を通る。
・第1象限、第３象限でz>0,
他の象限でz<0
・y一定で、(x,z)=(0,0)を
通る直線。
傾きは、y。
・x=yの時、z=x2の放物線
gnuplotを
使って書いた。
21
場（ば）
field
空間の各点で、スカラー（数字）やベクトルが
定義されている。
y
スカラー（数字）の場合
y=f(x)
１次元上（変数１個）なら、２次元のグラフ。
曲線で書ける。
x
２次元上（変数２個）なら、３次元のグラフ。
曲面で書ける。
z
y
x
22
場の微分を考える。（後で電磁気でも使う。）教科書p.27
    
grad  
,
,

y
z 
 x
グラジエント、と読む。
問題１
 ：ファイ
（ギリシャ文字）
「勾配」の意味。



   ,
,

 x y z 
grad  
問題２
←ベクトル
を使えば、  ナブラ演算子とも
呼ぶ。
逆三角形。
と書けることを示せ。
（Δではない）
 ( x, y )  xy に対して
grad を計算して図示せよ。
ヒント：(x,y)平面のいろいろな点で、矢印を書く。
23
問題の解答
問題１




   ,
,
 x y z 
grad  
を使えば、
と書けることを示せ。
  
    
  grad
   , ,   
,
,
 x y z 
 x y z 
注意


x
grad
は右側の物を微分する。
順番を変えると意味が変わる。
grad
は
 grad
24
と書いてはいけない。
問題２の解答
 ( x, y)  xy
grad
  xy

y
x
に対して
を計算して図示せよ。

x
y
   
grad    ,   ( y, x)
 x y 
xy平面で、ベクトル場(y,x)を描く。
書き方：
点(x,y)において、始点が(x,y)にして、
ベクトル（y,x）を描く。
25
ベクトル場
xy平面で、ベクトル場(y,x)を描く。
書き方：
点(x,y)において、始点が(x,y)の矢印(y,x)を描く。
例
(1,0)点でベクトル（0,1)
(-1,0)点でベクトル（0,-1)
y
0
1
x
26
斜面の例
z  ( x, y)  x
は平面を表す。
斜めの面を無限まで
延長した平面
(チーズを斜めに切った
ような面）
z
y
x
この面の傾きを考える。
27
斜面
z  ( x, y)  x
グラジエントを計算する。
 x

1
x x
 x
(yで偏微分する時は、ｘは定数と見る

 0 ため）
y y
y
   
grad   ,   (1,0)
 x y 
x
28
斜面
z  ( x, y)  x
上から見ると、
y
P
P
z
y
x
x
0
点Pでの勾配（傾斜、傾き）を考える。
赤い方向は、坂を上がる。勾配が最大。
青い方向は、同じ高さ。勾配ゼロ。
緑の方向は、坂を下る。
z  ( x, y)  x のグラジエントは、
grad ( x, y)  (1,0) で赤い方向になっている。
グラジエントベクトルの方向は、勾配が急な方向。
大きさは、坂の勾配に等しい。
29
gradの幾何学的意味。
df
１変数の関数f(x)なら、
dx
は曲線y=f(x)の傾き。
(高校の数学)
２変数関数g(x,y)の場合：
z=g(x,y)とすると３次元空間内の曲面になる。(例はg=xy)
曲面上の点Pを決めても、傾きは方向によって違う。
変分を考えると、
g
g
dg 
dx 
dy  ds  grad g
x
y
ds  (dx, dy)
grad gは場所を決めると、方向も含めて１通りに決まる。
変分(dx,dy)は、grad gと同じ方向にするとdgが最大になる。
つまりgの変化が最大になる。
傾きがベクトルgrad gの長さになる。
３変数関数φ(x,y,z)の場合も同様。
30
grad φは、φの変化が最大になる方向を向き、大きさは勾配
    

grad  
,
,
y
z 
 x
グラジエント
関数をxで偏微分したものをx成分にする。
gradの図形的意味：２変数x,yの場合
z   ( x, y)
の傾きが最大になる方向が
例：山を登る場合。
grad
z

x はy一定の時のx方向の変化。
  と 
31
grad

の大きい方に近い方向を、
は向く。
y
x
ここから物理に戻る。
ポテンシャルの話
32
経路に沿った積分
（大学の物理では使う）
教科書p.26
ある点AからBまでの経路に沿って
質点が力
を受ける。
この力が質点にする仕事は、
F
B
B
WAB   F  dr
経路に垂直な成分は
A
A
仕事に寄与しない。
もしこの仕事が経路によらず、始点Aと終点Bだけで
決まる時、力 F は保存力であると言う。
B
WAB   F  dr  U (rA )  U (rB )
A
と書ける。この時のUをFのポテンシャルと言う。
33
保存力の場合、始点と終点で決まる。
教科書p.29
B
WAB   F  dr  U (rB )  U (rA )
A
この時
F(r)   gradU (r)
と書くことができる。
力を積分すると
ポテンシャルになる。
ポテンシャルを微分すると
力になる。
マイナスがつく理由
-> 後でエネルギー保存則にしたいため。
物体に仕事をすると、物体の運動エネルギーが上がる。
では代わりに下がるものは何か？
これをポテンシャルエネルギーと考える。
34
保存力の問題
問題
教科書p.29
力が保存力Fcと非保存力（経路による力）F’の和
であるとする。
F’が経路に垂直な時、力学的エネルギー
（運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー）が
保存することを示せ。
35
運動方程式からわかることの３番
P1
1
1
2
2
mv1  mv 0   F  dr
P0
2
2
復習
教科書p.20
運動エネルギーの変化＝仕事
物体に仕事をすると、物体の運動エネルギーが上がる。
では代わりに下がるものは何か？
それをポテンシャルエネルギーと考える。
U (r )   F  dr
36
力学的エネルギーの保存則：解答
教科書p.30
保存力をFc, 非保存力（経路による力）をF’とすると、
B
B
B
1
1
2
2
m vB  m vA   (Fc  F)  dr   Fc  dr   F  dr
A
A
A
2
2
B
 U A  U B   F  dr
A
非保存力がゼロ、あるいは、経路に常に垂直なら、
右辺第2項の積分はゼロ。
1
1
2
2
mv A  U A  mv B  U B
2
2
力学的エネルギーの保存則
37
保存：
保存する
conserve (保存する）、conservation (保存）
＝
（ある条件の下で何かが）一定である。
(1)力学的エネルギー保存則
1 2
mv  U  一定
2
(2) 運動量保存則
外力がなければ、運動量は一定。
t2
p 2  p1   Fdt
t1
の右辺がゼロの場合に対応。
(3) 角運動量保存則（後で出てくる。）
38
ポテンシャル
(potential
可能性、将来性）
ポテンシャルエネルギーは、力の距離による積分で定義する。
特に、力Fがx軸方向の時、
U ( x )    F ( x )dx
問題１バネ運動で、F(x)=-kx (kはバネ定数）の時、
ポテンシャルU(x)を求めよ。
問題２重力F(z)=-mg (z軸は上向けを正に取る）の時、
ポテンシャルU(z)を求めよ。（位置エネルギーと呼ぶ）
39

Download Report