電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
6/19講義分
電磁ポテンシャルとゲージ変換
山田博仁
再びMaxwell方程式
Maxwellの方程式
B ( x, t )
rot E ( x, t ) 
0
t
div B ( x, t )  0
D( x, t )
rot H ( x, t ) 
 ie ( x , t )
t
div D( x, t )   e ( x, t )
 (2)
構成方程式(物質中)
D( x , t )   E ( x , t )
真空中では、
  0
B( x, t )   H ( x, t )
 (5)
 (6)
 (1)
 (3)
 (4)
  0
 (7)
 (8)
磁場(磁束密度)B(x, t)を
B( x, t )  rotA( x, t )
 (9)
と表すと、(2)式は恒等的に満たされる。
これを(1)式に代入すると、
A( x, t ) 

rot E ( x, t ) 
 0
t 

(  ベクトル恒等より、   (  A)  0 )
 (10)
電磁ポテンシャル
さらに(10)式は、
A( x, t )
E ( x, t ) 
 grad  ( x, t )
t
 (11)
とおくことにより、恒等的に満たされる。 (  ベクトル恒等式より、 rot(grad )  0 )
つまり、Maxwellの方程式の(1)式と(2)式は、
A( x, t )
 grad ( x, t )
t
B( x, t )  rot A( x, t )
E ( x, t )  
 (12)
 (13)
とおくことにより、自動的に満たされる。この A と  を、電磁ポテンシャルという。
以下では、残りのMaxwell方程式(3)と(4)を、E, B, H, Dではなく、電磁ポテンシャル
A と  を用いた式として書き直してみる。
まず、(5)式, (6)式の関係を用いると、(3)式は、
rot B( x, t )  
E ( x, t )
  ie ( x , t )
t
 (14)
となる。
電磁ポテンシャル
これに(12)式, (13)式を代入し、 rot (rotA)  grad (divA)   A のベクトル恒等式を
用いると、

2 
 ( x, t ) 

    2  A( x, t )  grad divA( x, t )  
    ie ( x, t )  (15) となる。
t 
t 


また、(4)式に(12)式を代入すれば、
1
 A( x, t ) 
divE ( x, t )  div
   ( x, t )  e ( x, t )

 t 
 (16)
従ってMaxwellの方程式(1)～(4)は、以下の方程式系で置き換えられる。
A( x , t )
 grad ( x , t )
t
B ( x , t )  rot A( x , t )
E ( x, t )  

2 
 ( x , t ) 

    2  A( x , t )  grad divA( x , t )  
    ie ( x , t )

t

t




1
 A( x , t ) 
 ( x , t )  div
    e ( x, t )

 t 
 (12)
 (13)
 (15)
 (17)
新しいMaxwell方程式系
A( x , t )
 grad ( x , t )
t
B ( x , t )  rot A( x , t )
E ( x, t )  

2 
 ( x , t ) 

    2  A( x , t )  grad divA( x , t )  
    ie ( x , t )

t

t




1
 A( x , t ) 
 ( x , t )  div
    e ( x, t )

 t 
 (12)
 (13)
 (15)
 (17)
上の新しいMaxwell方程式系による解法は、電荷密度分布e(x, t)および伝導電流
密度の分布 ie(x, t)が与えられていれば、まず(15), (17)式による連立方程式を解い
て電磁ポテンシャルA(x, t)および(x, t)を決める。次にこれを(12), (13)式に代入す
ることにより、電場 E(x, t)および磁場 B(x, t)が求まる。
しかし、この新しいMaxwell方程式系では、最初に(15), (17)式による連立方程式を
解かなければならないので解法が煩雑。
もっと簡単にできないか?
そこで、上の(12), (13), (15), (17)の方程式系の次の性質に注目する。
新しいMaxwell方程式系
今、任意の微分可能な関数をu(x, t)とし、先の電磁ポテンシャルAおよびの代わりに
A' ( x, t )  A( x, t )  grad u( x, t )
' ( x, t )   ( x, t ) 
u ( x, t )
t
 (18)
 (19)
として、新しくA’(x, t)および’(x, t)を定義する。
このとき、
A

u 

 grad   ( A'  grad u )  grad '  
t
t
t 

A'

 grad'
t
E
また、
B  rot A  rot( A'  grad u)  rot A'  rot(grad u)  rot A'
即ち、式(18), (19)によって与えられた A’と ’は、(12), (13)式により、元の電磁ポ
テンシャル A,  と全く同じ電磁場 E, B を与え、これらも新しい電磁ポテンシャルと
見ることができる。つまり、式(12), (13)で与えられた電磁ポテンシャルには、任意
関数 u(x, t)だけの不定性がある。
新しいMaxwell方程式系
今、(15)式に(18), (19)式を代入すると、

2 
' 

    2  A'  grad div A'  


t

t






2 

u 
     2 ( A  grad u )  graddiv ( A  grad u )      
t 
t 
t 




2 
2 
 
2 

 A      2 grad u  grad div A  
  grad    2 u
2 
t 
t 
t 
t 



2 
 
2

(

div
(
grad
u
)



(

u
)


u  u)

A

grad
div
A





i


e
2 
t 
t 

( また、 (grad u)  grad(u) )
また(17)式に(18), (19)式を代入すると、
u 

 A' 

'  div





div
( A  grad u )



t 
t
 t 


    


    

u
u
 A 
   div   

t
t
 t 
1
 A 
   div     e

 t 
ゲージ変換
従って、A’と’は、 A と と全く同じ方程式を満たしている。
即ち、(18), (19)の新しい電磁ポテンシャルA’と ’は、 A と  の組と同じ電磁場 E,
B をもたらすだけではなく、これらの満たす方程式も全く同じである。つまり、電磁
ポテンシャルA および には、任意関数 u の不定性がある。
(18), (19)をゲージ変換と言う。また、関数 u(x, t) をゲージ関数と言う。
新しいMaxwell方程式系(12), (13), (15), (17)は、ゲージ変換(18), (19)のもとで不変
次に、任意関数として次式を満足するような関数  を仮定する。

2 
 ( x, t ) 

    2   ( x, t )   div A( x, t )  


t

t




 (20)
下記のゲージ変換による新しい電磁ポテンシャルALと Lは、勿論もとの A と と
同じ電磁場 E, B を導き、またそれは(15), (17)式と同じ形の方程式を満足する。
AL ( x, t )  A( x, t )  grad  ( x, t )
L ( x, t )   ( x, t ) 
 ( x, t )
t
 (21)
 (22)
ゲージ変換
ALと Lは関数  として(20)式を満たすようにとったため、以下の条件式を満足する。
L ( x, t )

2
div AL ( x, t )  
 div A  
    2  0
t
t
t
 (23)
この条件式を用いて、 ALと Lの満たす、 (15), (17)の方程式を書き換えると、

2 
    2  AL ( x, t )    ie ( x, t )
t 

 (24)

2 
1
    2 L ( x, t )    e ( x, t )
t 


 (25)
となる。
上の(24), (25)式を、ダランベール(d’Alembert)の方程式と言う。
ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式
従って、ゲージ変換により、Maxwellの方程式は、以下の一連の方程式系で置き
換えられたことになる。
AL ( x, t )
 gradL ( x, t )
t
B ( x, t )  rot AL ( x, t )
E ( x, t )  

   


   

 (12)
 (13)
2 
 AL ( x , t )    ie ( x , t )
t 2 
 (24)
2 
1


(
x
,
t
)


 e ( x, t )
L
2 
t 

 (25)
L ( x , t )
0
 (23)
t
この新しいMaxwell方程式系では、 (24), (25)式を見ると(15), (17)式とは異なり、AL
と Lとはそれぞれ独立な方程式を満たしており、連立方程式にはなっておらず、
AL, L, ie, e の4個の成分に関して極めて対称性の良い形をしている。
div AL ( x , t )  
(23)式の条件をローレンツ(Lorentz)条件と言い、この条件を満足する電磁ポテン
シャルAL(x, t), L(x, t)を、ローレンツ・ゲージにおける電磁ポテンシャルと言う。
ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式
AL ( x, t )
 gradL ( x, t )
t
B ( x, t )  rot AL ( x, t )
E ( x, t )  

   


   

 (12)
 (13)
2 
 AL ( x , t )    ie ( x , t )
t 2 
 (24)
2 
1


(
x
,
t
)


 e ( x, t )
2  L
t 

 (25)
div AL ( x , t )  
L ( x , t )
0
t
 (23)
このローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式による解法は極めて見通しが良く、
電流密度分布 ie(x, t)および電荷密度分布e(x, t) が与えられていれば、まず(24)
式および(25)式を各々独立に解いて、電磁ポテンシャルAL(x, t)およびL(x, t) を求
める。その求まった AL(x, t) と L(x, t)が(23)式を満たしているかどうか確認し、次
にこれを(12), (13)式に代入することにより、電場E(x, t)および磁場B(x, t)が求まる。
ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式
ところで、このローレンツ・ゲージにおける電磁ポテンシャルAL(x, t), L(x, t) も、
一義的な値を持たない。何故なら、

2 
    2   0 ( x, t )  0
t 

 (26)
を満たすような 0 を用いて、ゲージ変換
AL' ( x, t )  AL ( x, t )  grad 0 ( x, t )
L' ( x, t )  L ( x , t ) 
 0 ( x, t )
t
 (27)
 (28)
を行うと、この新しいローレンツ・ゲージの電磁ポテンシャルAL’(x, t), L’(x, t) も
また、(12), (13), (23), (24), (25)と全く同形の方程式系を満たす。
即ち、 (12), (13), (23), (24), (25)の方程式系は、(27), (28)式の条件に基づいて規
定されたゲージ変換のもとで不変である。
静電場、静磁場の式
さて、 (12), (13), (23), (24), (25)の方程式系において、全ての物理量が時間 t に
依存しないとき、
静電場の基本法則
E ( x )  gradL ( x )
 (29)
1
L ( x )    e ( x )
 (30)

静磁場の基本法則
B( x)  rotAL ( x )
 (31)
AL ( x )   ie ( x)
 (32)
div AL ( x )  0
 (33)
が得られる。
相対論における扱い
以下のローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式は、

1
   2
v


1
   2
v

2 
 A   i
2 
t 
 (24)
2 
1





2 
t 

 (25)
相対論においては、4次元ベクトルとしての電磁ポテンシャル A   v , Ax , Ay , Az 
および4次元電流密度 i   v, ix , i y , iz  を用いて

1 2 
   2 2  A    i
v t 

 vは、電流密度の次元を持つ
 (34)
と表される。
さらに、ダランベルシアン□を用いて(34)式は、
□A   i
 (35)

1 2 
 □     2 2 
v t 

と表される。
ローレンツ力と相対運動
z
E
Bz
K
z’
y
K’
v
+
q
Fy’
x
y’
x’
-v
Fy’ = q v×Bz
ローレンツ力と相対運動
z
E
Bz
K
z’
y
-Fy’
K’
+
q
Fy’
v
A
ベクトルポテンシャル
x
y’
磁場Bが有るのなら、必ずそれを作って
いるベクトルポテンシャルAが有るはず
x’
-v
Fy’ = q v×Bz
座標系K’の観測者から見ると、ベクトルポテンシャルが時間的に変化しており、
電場Eとして見える。このEによって受ける力が -Fy’となるため、点電荷は動かない
ローレンツ力と相対運動
ローレンツ力 F  q( E  v  B)
ケース1
+q
x
v
x
F
E = 0 とする
B
+q
v
y
F
z
B
A
電流 z
F=qvB
V
ケース2
F = q (v +V)B ?
y
F=qvB
1. F = q (V+v) B
2. F = q v B
?
3. F = q V B
?
V
?
ヒント: 磁場 B ではなく、その磁場を作っている
ベクトルポテンシャル A で考えてみよう
v
F
B
V
A
電流

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