凹次の各問に答えよ。
〔
問
n(
♂ +l2
y-
瓦 ÷ 去 を 計 算 せ よ。
凸
り
ti
=4
キノ
解
を
d
一
一
y
お一一
1y
j
-ロ
、
FEEE--z 11111L
5一 3 x
式
程
方
立
連
qL
同羽
Fl
〔
問 3) 二次方程式
(
3x-l
)(
x- 2
)-3(
1- 2
x
)=0
を解け。
〔
問4
) 1から 6までの目が出る大小 1つずつのさいころを同時に 1回投げる 。
大きいさいころの出た目の数を
!
f
z
a，小さいさいころの出た目の数を bとするとき，
の値が正の整数になる確率 を求めょ 。
ただし，大小 2つのさいころはともに，
1から 6までのどの目が出ることも同様に確か
らしいものとする。
〔
問 5) 右 の図に 示 した立体 ABCDは正四面体であり，
A
点 M は辺 CDの中点である。
解答欄に示した線分 ABをもとにして，平面上に表し
たときのム MABを，定規とコンパスを用いて作図し，
頂点 M の位置 を示す文字 M も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでら
おくこと 。
C
-1-
固 右 の 図 1で，点 O は原点，曲線 Eは関数 y =が の
図1
y
グラフを表している。
E
点 A は曲線 G上の点で，点 O と一致しない。
1，0
)ま で の 距 離 ， お よ び 原 点 か ら
原点から点(
点(
0，1
)までの距離をそれぞれ 1cmとして，次の各聞
に答えよ。
〔問1)右の図
。
2は，図 1において，点 Aの x座標を
x
図2
1，点 A と点 O を結び，線分 OAを 1辺とする
y
E
正方形 OABCをかき加えた場合を表している。
ただし，点、 Bの y座標は点 A の y座標より大
きい。
2，0
)を通り，正方形 OABCの面積を 2等分
点(
する直線の式を求めよ。
x
〔
問 2J 右の図 3は，図 1において，点 A の x座標を
-1，点 A を通り x軸に平行な直線上にある点を
図3
y
E
D とし，線分 ADを 1辺とする正方形 ADEFを
辺 DEと曲線 Eが交わるようにかき加え，辺 DE
と曲線 Eとの交点を G とした場合を表している。
ただし，点 Eの y座標は点 D の y座標より大
きい。
x
点 Gが辺 DEの中点のとき，正方形 ADEFの
1辺の長さは何 cmか
。
2-
〔
問3
) 右の図 4は，図 1において，点 Aの x座標を
負の数，曲線 t上にあり点 A と一致しない点を
図4
y
E
Jとし，点 A と点 Jを結び，線分 AJを 1辺と
する正方形 AJKLをかき加えた場合を表してい
る
。
ただし，点 K の y座標は点 Jの y座標より大
きい。
x
正方形 AJKLの周の長さが 5cm， 2点 A，J
を通る直線の傾きか
守
3
4
のとき，頂点 K の x座標
を求めよ。
また，答えだけでなく，答えを求める過程が分
かるように，途中の式や計算なども書け。
-3-
じ司 右 の 図 1で
， 2点 A，Bは円 Oの周上にある点で，
図1
p
互いに一致しない。
円 O の周上にあり，
2点 A，Bのいずれにも一致しな
い点を P，点 Pを含まない AB上にあり， 2点 A，Bの
いずれにも 一致しない点を Q とする 。
点 A と点 B，点 A と点 P，点 A と点 Q，点 B と点 p，
R
点 B と点 Q，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。
線分 PAを A の方向に延ばした直線上にある点を R と
し，点 Q と点 R を結ぶ。
次の各問に答えよ。
〔
問1) 図 1において，点 B と点 0，点 O と点 Q をそれぞれ結んだ場合を考える 。
rー¥
AR=QR
， ζARQ=4
0， ζBOQ=1
2
0 のとき，点、 A を含まない BPの長さと，
0
0
点 A を含まない BQの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。
-4-
図2
〔
問 2) 右の図 2は，図 1において，
BQ=PQ=QRの場合を表している 。
P
次の (
1)
，(
2
)に答えよ 。
B
R
(
1) ムABQ三ム ARQであることを証明せよ 。
(
2
) 線分 ABが円 Oの直径になる場合を考える 。
AB= 3cm，AQ= lcmのとき，線分 PRの長さは何 cmか。
- 5
国
1枚の硬貨を投げて，表裏の出方によって同じ数直線上を次の[規則]にしたがって移動する
2点 P，Q を考える。
m，nはそれぞれ 1けたの自然数とする。
:[規則]
硬貨を投げた後， 2点 P，Qはそれぞれ，硬貨を投げる前の位置から次のように移動する。:
硬貨の表が出たときは，
点 Pは正の向きに m だけ，点 Q は負の向きに nだけそれぞれ進む。
硬貨の裏が出たときは，
点 Pは負の向きに nだけ，点、 Q は正の向きに m だけそれぞれ進む。
硬貨は続けて何回か投げ， 2点 P，Q は硬貨を 1回投げるたびに[規則]にしたがって移動
を繰り返す。硬貨を投げ始める前，
2点 P，Qはともに数直線上の Oの位置にある。
[
例I
m = 5，n= 3の場合，硬貨を続けて 3回投げ，表裏の出方が「裏，表，表」となったとき，
2点 P，Q は数直線上を次のように移動する。
1回目に投げた後，
点 Pは Oの位置から -3の位置に移動し，点、 Q は Oの位置から 5の位置に移動する。
2回目に投げた後，
点 Pは -3の位置から 2の位置に移動し，点 Qは 5の位置から 2の位置に移動する。
3回目に投げた後，
点 Pは 2の位置から 7の位置に移動し，点 Qは 2の位置から -1の位置に移動する。
-6-
硬貨を続けて 8回投げるとき，次の各聞に答えよ 。
) m =3
，n=2の場合を考える 。
〔
問1
8回目に投げた後，点 Pの位置を表す数は，点 Q の位置を表す数より 2
0だけ大きく
なった。硬貨を投げた 8回のうち，表が出た回数は何回か。
) 硬貨を投げた 8回のうち，表が 3回出た場合を考える 。
〔
問2
8回目に投げた後，点 Pは 1の位置に移動し，点、 Q は hの位置に移動した o kの値と
して考えられる数をすべて求めよ 。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や説明なども
書け。
) 硬貨を投げた 7回目までは 7回とも，投げた後の点 Pの位置が点 Q の位置より右に
〔
問3
あり， 8回目を投げた後， 2点 P，Qが同じ位置に移動する場合を考える 。
このような場合が起こる表裏の出方は，全部で何通りあるか。
一 7-
(
2
6
-立)
点 A を含まないBrの長さ):(
点 A を含まない
〔
問 1J (
〔問1)
[証
〔
問 2J (
1
)
〔
問2
J
x=
ニ
B
Qの長さ)=
明]
，yニ
囚
〔
閑 3J
A
B
〔
問 4J
〔悶1)
y=
〔
問 2J
cm
〔
問3
J
[途中の式や計算など
】
ト←一一一一
国
同
2
)
〔
問 2J (
困の解答欄はニの裏にあります。
(答え)
cm
受 検 番 号
得
点
(判￨記)
世
Z
仲
。咽島
~
制E
採
S
生 案
{
n
r
M
HQ
hMMW窓 叩恰
号制消
F
裂
5ご
、
数学
問題番号
(
2
6-立 NO.
1
)
~
正
〔
問 1)
￨
:
￨
5
〔
問 2)
x= 1
2
.
J
4
)~
Uニ 8
1土 A
6
〔
問 3) 1
〔問~~.，
￨配点￨
う
E
な
3
I5
7
I5
3
6
I5
\.~
1
解答例
刈
ど
〔
問 1) 1
l
2
7
2
'cm
8
y=-~x+1
5
〔
問 2) 1
5
条件から，正方形の 1辺 の 長 さ は 一 cmである。頂点 A を通り z軸に平行な直線と，
4
頂点 Jを通り ν
軸に平行な直線との交点を M. 頂点 K を通り z軸に平行な直線と，
頂点 Jを通り
ν軸に平行な直線との交点を N とする。
3
JM=三AM
頂点 A と頂点 Jを通る直線の傾きはーであるから.
4
図
〔
問 3)
2
三平方の定理より. A M
+JM2=
解答例
25.
__
" 25
整理すると. ~:AM:l
1
6
- = ~:
1
6
Y
三
(
¥4/
2+
であるから. AM
AM>0であるから. AM=l
①
三
(
AMI2= (~Î
¥4
/
¥4/
1
0
①から. JM=一 一 ②
ここで，頂点 Aの z座標を αとすると， AM=l より，
2
) であるから.
J(α+1，(α+1?)，M(α+1
，a
1
②より， 2α+1 ニー， α~
.~ ~
JM=(α+1
)
2-a2=2α+1
__
~~.，
よって，頂点 Jの z座標は，
1
ム
③，④から，頂点 K の z座標は，
7
8
当
3
1
4
8
7
~
一一 +1=一
③
8 8 -
:
ド
(
答
え
)
i
J﹃HIU
一
点
(
点 A を合まない BPの長さ):(
点 A を 合 ま な い ぬ の 長 さ )=5:6
{
問 1)
。
す一
2 土問
，
、 Tl
N
nL
n
o
学一番-国守
数一樋
ラ
七
ιA
正
7
。
ABQとム‘
ARQにおいて. RQ=PQより . LARQ= LAPQであり，
AQに対する円周角は等しいので . LAPQ= LABQであるから，
LARQ=どABQ
①
また. BQ=PQより ， LPBQ= LBPQであり.
〔
問 2)
回
(
1
)
APに対する円周角は等しいので，
どAQP= LABP
BQに対する円周角は等しいので .
LBPQ= LBAQ
よって. LRAQは ム APQの内角 LPAQの外角であるから，
解答例
1
0
LRAQ= LAPQ十 LAQP= LABQ+ LABP= LPBQ= LBPQ= LBAQ
②
三角形の内角の和は 1
8
0 であるから，①，②より，
0
(RAQ+LARQ)
LAQR= 1
8
00 一ζ
=1
8
00 一 (LBAQ+ LABQ)
= LAQB
.
.
.
③
ゆえに，②，③と辺 AQは共通により，一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
ムABQ三ムARQ
〔
問 2)
(証明終)
1
6
τ
c
m
(
2
)
〔
問 1)
8
6回
7
表が 3回，裏が 5回出たので. 8回目に投げた後の点 Pの位置を表す数について，
3m-5n= 1
が成り立つ。
これを
η
・・・①
3m-1
について解いて，
η =一三一-
m は 1けたの自然数であるから，②に m = 1
，2，3，"
'
， 9を代入し，
それぞれ
η
の値を求めると次の表のようになる。
m I1 2
〔
問 2)
l
回￨ 解答例
η
3
4
5
6
7 8
9
8 1
1 1
4 1
7
2
3 2
6
4
5 5 一
5 5
5 5
I1
0
も lけたの自然数であるから，
表より，①の方程式を成り立たせる m ，η の値の組は，
m = 2， n=l
m = 7， n=4
の 2組あることがわかる。
それぞれについて， 8回目に投げた後の点 Qの位置を表す数 kを求めると，
k=5x2-3xl=7
k=5x7-3x4= 2
3
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
:(答え)
〔
問 3)
5通り
7
.
2
3
8
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