平成27年度数学問題

（ 27 - 一貫）
27
一貫
数　学
数
注
意
1　問題は　1　から　4　までで，4 ページにわたって印刷してあります。
2　検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 00 分です。
3　声を出して読んではいけません。
学
4　計算が必要なときは，この問題用紙の余白を利用しなさい。
5　答えは全て解答用紙に明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。
6　答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含ま
ない形で表しなさい。また，根号の中は最も小さい整数にしなさい。
7　答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。
8　答えを直すときは，きれいに消してから，新しい答えを書きなさい。
9　受検番号を解答用紙の決められた欄に記入しなさい。
1 次の各問に答えよ。
3
4
－（－ 5） ×　を計算せよ。
（－　2 ）
15
〔問 1 〕　－ 6 2 ÷
3
2
24
〔問 2 〕　（　8 ＋ 3 ）2 －を計算せよ。
6
x ＋ 7y
x ＋ 2 y －＝ 10
6
〔問 3 〕　連立方程式　を解け。
－ 3 x ＋ y ＝－ 8
〔問 4 〕　二次方程式　（2 x － 1）
（2 x ＋ 5）＝ 4 x ＋ 19　を解け。
〔問 5 〕　1 から 6 までの目が出る大小 1 つずつのさいころを同時に 1 回投げる。
大きいさいころの出た目の数を a ，小さいさいころの出た目の数を b とするとき，
1
1
1
等式＋　＝　が成り立つ確率を求めよ。
a
b
2
ただし，大小 2 つのさいころはともに，1 から 6 までのどの目が出ることも
同様に確からしいものとする。
〔問 6 〕　右の図で，直線 ℓ は，2 点 A ，B を通る直線と垂直に
ℓ
交わっている。
解答欄に示した図をもとにして，2 点 A ，B を通り，
直線 ℓ に接する円を，定規とコンパスを用いて 1 つ作図せよ。
また，円の中心を O として，その位置を示す文字 O も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
A
― 1 ―
B
2 右の図 1 で，点 O は原点，直線ℓは
図1
一次関数 y ＝－ x ＋ 8 のグラフを表している。
y
ℓ
直線 ℓ と y 軸との交点を A ，直線 ℓ と x 軸との
A
交点を B とする。
P
線分 A B 上にあり，点 A ，点 B のいずれにも
一致しない点を P とする。
次の各問に答えよ。
B
O
x
〔問 1 〕　図 1 において，点 P を通る関数 y ＝ a x2（ a ＞ 0 ）
のグラフをかき加えた場合を考える。
点 P の x 座標が 2 のとき，a の値を求めよ。
〔問 2 〕　図 1 において，点 P の x 座標が 6 のとき，点 P を通り，
△ O A B の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。
図2
〔問 3 〕　右の図 2 は，図 1 において，
次の①，②，③を満たす場合を表している。
y
ℓ
①　直線ℓ上にあり，x 座標が 4 である点を C とし，
1
点 C を通る関数 y ＝　x2 のグラフを m とする。
4
②　点 P は線分 A C 上にあり，点 A ，点 C の
m
A
R
P
C
いずれにも一致しない点とする。
③　点 P を通り y 軸に平行な直線を引き曲線 m との
交点を Q ，点 P を通り x 軸に平行な直線を引き
y 軸との交点を R ，点 Q を通り x 軸に平行な
S
Q
O
直線を引き y 軸との交点を S とする。
長方形 P R S Q が正方形になるとき，点 P の x 座標を求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。
― 2 ―
B
x
3 右の図 1 は，点 O を中心とし，半径を線分 O A とする，
図1
中心角 90°のおうぎ形 O A B である。
A
⌒
線分 O B の中点を C，A
B 上にある点を P とし，点 C と点 P を
結ぶ。
P
Q
ただし，∠ B C P は鋭角とする。
線分 C B と線分 C P と ⌒
P B とで囲まれた図形を，直線 C P を
対称の軸として対称移動させたとき，点 B と線対称な点を Q とする。
O
C
B
次の各問に答えよ。
〔問 1 〕　右の図 2 は，図 1 において，∠ B C P ＝ 32°のとき，
図2
点 B と点 Q を結び，線分 B Q を Q の方向に延ばした直線と，
A
D
⌒
A
B との交点を D とし，点 O と点 D を結んだ場合を表して
いる。
Q
∠ O D B の大きさは何度か。
O
〔問 2 〕　右の図 3 は，図 1 において，点 O と点 Q を結んだ場合を
P
C
B
図3
表している。
A
O Q C P であることを証明せよ。
こんきょ
ただし，証明の中で根拠となることがらを書くとき，
O
〔問 3 〕　右の図 4 は，図 1 において，∠ B C P ＝ 45°の場合を
表している。
P
Q
単に「仮定より」とするのではなく，具体的に書け。
C
B
図4
A
O A ＝ 4 cm のとき，線分 C P の長さは何 cm か。
Q
O
― 3 ―
C
P
B
4 右の図 1 に示した立体 O － A B C D は，
図1
底面が 1 辺の長さ 6 cm の正方形で，
O
O A ＝ O B ＝ O C ＝ O D ＝ 6 cm の
正四角すいである。　D
点 P は，辺 O B 上にある点で，頂点 O ，頂点 B の　A
いずれにも一致しない。
点 Q は，辺 O C 上にある点で，頂点 O ，頂点 C の
Q
P
C
B
いずれにも一致しない。
頂点 A と点 P ，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
〔問 1 〕　図 1 において，O Q ＝ 4 cm，A P ＋ P Q ＝ k cm としたとき，
k の値が最も小さくなる場合を考える。
次の①，②に答えよ。
①　k の値を求めよ。
②　△ O P Q の面積は何 cm2 か。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，
図や途中の式，計算などもかけ。
〔問 2 〕　右の図 2 は，図 1 において，O Q ＝ 3 cm のとき，　図 2
O
辺 O D 上にあり O P ＝ O R となる点を R とし，
頂点 A と点 P および点 R の 3 点を通る平面が
R
点 Q を通る場合を表している。
D
頂点 A と点 R ，点 Q と点 R をそれぞれ結ぶ。
四角すい O － A P Q R の体積は何 cm3 か。
A
Q
P
C
B
― 4 ―
解
答
用
数　学
紙
〔問 1 〕
（27 - 一貫）
※　の欄には、記入しないこと
〔問 1 〕 a ＝
度
〔問 1 〕
① k ＝
〔問 1 〕
〔問 2 〕
〔問 2 〕 y ＝
〔問 3 〕　x ＝ , y ＝
〔問 3 〕【
途中の式や計算など
〔問 2 〕
【
証
明
】
②
【
図や途中の式，
計算など
】
】
〔問 4 〕
〔問 5 〕
〔問 6 〕
【
作
図
】
ℓ
1
2
Ａ
3
4
Ｂ
cm
2
(答え)
(答え)
〔問 3 〕
cm
cm
〔問 2 〕
受検番号
3
合計得点

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