数列と級数 http://www.ge.ce.nihon-u.ac.jp/~otofuji/ 1. 実数列の収束

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1. 実数列の収束
[定義]
実数列 {an }∞
n=1 が実数 a に収束する, とは
任意の正の数 ε に対し、条件：
n > N をみたすすべての n に対し、|an − a| < ε がなりたつ
をみたす番号 N が存在する
ことと定義する。
{an }∞
n=1 が実数 a に収束するとき、
a = lim an
n→∞
と表す。a を数列 {an }∞
n=1 の極限値と呼ぶ。(収束数列の極限値はただ１つである。)
収束しない数列は発散するという。
[例] {xn }∞
n=1 は −1 < x < 1 のとき 0 に収束する。x = 1 のとき 1 に収束する。そ
れ以外のときは発散する。
2. 実数の完備性
実数全体の集合は完備性と呼ばれる性質を持っている。この性質を表す互いに同
値な命題がいくつか知られている。次の命題はその一つである。
[命題]
上に有界な実数の増加列は収束する、すなわち
実数列 {an }∞
n=1 が an ≦ an+1 (n = 1, 2, . . . ) をみたし、かつ an ≦ M(n =
1, 2, . . . ) をみたす実数 M が存在する
ならば {an }∞
n=1 は収束する。
1
3. コーシーの収束条件
[定義]
実数列 {an }∞
n=1 がコーシー列であるとは
任意の正の数 ε に対し、条件
n > N をみたすすべての n に対し、|an − aN | < ε
をみたす番号 N が存在する
ことをいう。
[命題]
実数列 {an }∞
n=1 がある実数に収束する
∞
⇐⇒ {an }n=1 はコーシー列である。
収束列がコーシー列であることを示すのは簡単である。コーシー列が収束するこ
とを示すには、実数の完備性を用いる必要がある。
4. 複素数列の収束
[定義]
複素数列 {αn }∞
n=1 が複素数 α に収束する, とは
任意の正の数 ε に対し、条件：
n > N をみたすすべての n に対し、|αn − α | < ε がなりたつ
をみたす番号 N が存在する
ことと定義する。また、このとき
α = lim αn
n→∞
と表す。
[例] {zn }∞
n=1 は −1 < |z| < 1 のとき 0 に収束する。z = 1 のとき 1 に収束する。
それ以外のときは発散する。
lim αn = α 、lim βn = β がそれぞれ存在するとき、lim (αn + βn ), lim αn βn ,
n→∞
n→∞
n→∞
αn
も存在し、さらに β ̸= 0 ならば lim
も存在し、
n→∞ βn
[命題]
n→∞
lim (αn + βn ) = α + β ,
n→∞
lim αn βn = αβ ,
n→∞
がなりたつ。
2
αn α
=
n→∞ βn
β
lim
複素数列の収束は、実部、虚部それぞれがともに収束することと同値である、す
なわち
[命題]
複素数列 {αn = an + bn i}∞
n=1 と複素数 α = a + bi について
α = lim αn ⇐⇒ a = lim an かつ b = lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
この命題は不等式 |a|, |b| ≦ |a + bi| ≦ |a| + |b|(a, b は実数) を用いて証明できる。
この命題より、複素数列に対してもコーシーの収束判定法を適用できることがわ
かる：
[命題]
複素数列 {αn }∞
n=1 がある複素数に収束する
∞
⇐⇒ {αn }n=1 はコーシー列である、すなわち任意の正の数 ε に対し、条件
n > N をみたすすべての n に対し、|αn − αN | < ε
をみたす番号 N が存在する。
5. 級数
[定義]
数列 {αk }∞
k=1 に対して、
n
∑ αk = α1 + α2 + · · · + αn
Sn =
k=1
∞
を第 n 部分和という。極限値 lim Sn = S が存在するとき、級数
n→∞
∑ αk は収束する
k=1
といい、S をその和という。S を
∞
S=
∑ αk = α1 + α2 + · · · + αn + · · ·
k=1
と表す。
収束しない級数は発散するという。
α ̸= 1 のとき
[例]（幾何級数）
∞
る。よって、級数
∞
n
∑ αk = 1 + α + α2 + · · · + αn =
k=0
∑ αk = 1 + α + α2 + · · · + αn + · · ·
は |α | < 1 のとき収束して
k=0
1
∑ α k = 1 − α である。また、|α | ≧ 1 のとき発散する。
k=0
3
1 − α n+1
であ
1−α
6. 級数に関するコーシーのの収束条件
∞
[命題]
⇐⇒
∑ αk は収束する
級数
k=1
任意の正の数 ε に対し、条件
n > N をみたす任意の n に対し、|αN + αN+1 + · · · + αn | < ε
をみたす番号 N が存在する。
7. 正項級数
[定義]
各項が 0 以上の実数であるような級数を正項級数という。
[命題] 収束する正項級数は項の順序を入れ替えても同じ値に収束する。また、
項を有限個または無限個のグループに分けた場合、それぞれのグループは和を持
ち、そしてそれらを足した和が存在し、元の級数の和に等しい。
8. 絶対収束級数
∞
[定義]
∞
級数
級数
∑ αk が絶対収束するとは、各項の絶対値をとって作られる正項
k=1
∑ |αk | が収束することをいう。
k=1
[命題]
絶対収束する級数は収束する。
証明にはコーシーの判定条件を用いる。
[命題] 絶対収束する級数は項の順序を入れ替えても同じ値に収束する。また、
有限個または無限個のグループに分けた場合、それぞれのグループは絶対収束し、
それらの和からなる級数は絶対収束し、その和は元の級数の和に等しい。
証明は正項級数の場合に帰着させることによって行なう。
∞
[命題] (優級数の方法)
|αk | ≦ Mk (k = 1, 2, . . . )、∑ Mk < ∞ なる正項数列 {Mk }∞
k=1
k=1
∞
が存在すれば、 ∑ αk は絶対収束する。
k=1
証明にはコーシーの判定条件を用いる。
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