本科／直前演習期／ Z Study 添削問題編／添削問題京大コース物理 3 次の文を読んで，は，すでに見本 ZQNKA1-Z2A6-01 に適した式または数値を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，で与えられたものと同じものを表す。また，問₁では指示に従って，解答を解答欄の枠内に記入せよ。図のように，断熱材でできた内径 r の球形容器内に単原子分子理想気体を封入する。分子 1 個の質量を m，容器内の分子の個数を N とする。ただし，分子と容器の内壁（以下，単に壁とよぶ）との間はなめらかであり，衝突は弾性的で瞬間的に起こるものとする。また，分子どうしの衝突や重力の影響は無視できるものとする。１まず，球の内径が r で一定の場合に気体の及ぼす圧力について考える。ある分子 1 個が速さ v で容器の壁の法線と角度 i をなして衝突したとする。このとき，あ 1 回の衝突でこの分子が壁に与える力積の大きさは間に壁といである。また，この分子は単位時回だけ衝突するので，壁が 1 個の分子から受ける力の大きさは，r，m，v と表される。よって，容器内の全分子についての，速さの 2 乗の平均値をを用いてう v 2 とすると，壁が受ける圧力 P は，m，r， v 2 ，N を用いて，P= えと表される。さらに，気体の体積を V，分子 1 個当たりの運動エネルギーの平均値を K とすると，P は， N，V，K を用いて，次のように表される。 P= お２次に，図の球の内径が，単位時間に u だけ増加している場合について考える。ただし，u は，気体分子の速さの平均値に比べて十分に小さいものとする。このとき，速さ v で容器の壁の法線と角度 i をなして衝突する分子に着目すると，衝突の直前直後で，分子の速度の壁に平行な成分（壁の接面方向成分）は変化しないが，壁に垂直な成分（壁の法線方向成分）の大きさは，衝突後，かとなる。したがって，1 回の衝突による，この分子の運動エネルギーの変化量は，u の項を無視する近似を適用すると， 2 きと表される。ここで，容器の内径が r から r+Dr（Dr%r）まで変化する間に着目すると，この間の時間は Dr/u であるから，この間における，衝突直前の速さが v の分子 1 個の運動エネルギーの変化量 Dk は，Dk= くと表される。ただし，単位時間に分子が壁に衝突する回数はと同じとみなせるものとする。また，この間の気体の体積の変化量 DV は，Dr の 2 い次以上の項を無視する近似を適用すると，DV]4rr 2 Dr と表されることより，Dk の（1 分子当たりの）平均値を DK とすると，DK は，K，V，DV を用いて，次のように表される。 DK= とけより，容器の内径が Dr だけ変化する間における，気体の圧力の変化量 DP と体積の変化量 DV の間には， DP DV + こ # =0 の関係があることがわかる（必要であれば， P V a %1， b %1 のときに成り立つ近似式，(1+a) n ]1+na，(1+a)(1+b)]1+a+b を用いよ）。この結果より，断熱変化する単原子分子理想気体の圧力と体積の関係を表す式， PV c =[一定]（ただし，c= こ）が得られる。 26 ZQNKA1-Z2A6-02 ３振動数が一定の電磁波は，ある一定のエネルギーをもった粒子の集まりと考えることができ，その粒子を光子という。光子 1 個のエネルギーを f とすると，その光子の運動量は，向きが電磁波の進む向きに等しく，大きさが f/c であることが知られている。ただし，c は電磁波（光子）の速さである。以下では，図と同様に，内径が r で一定の容器内に，振動数が一定の電磁波の光子気体が閉じ込められている場合について考えよう。ただし，光子と容器の壁との間はなめらかで，光子と壁との衝突は弾性的で瞬間的に起こるものと仮定する。また，光子どうしの相互作用や重力の影響は無視できるものとし，壁への電磁波（光子）の吸収や壁からの電磁波（光子）の突する光子に着目すると，この光子 1 個が壁に与える力積の大きさは個の光子から受ける力の大きさは，f，r を用いてさなので，壁が 1 しと表される。問₁ この場合の，電磁波（光子）の衝突によって壁が受ける圧力 p，光子気体の体積 V，および光子気体の全エネルギー U との間に成り立つ関係式を求めよ。解答欄には考え方や計算過程も明記せよ。 27 第１回放射は考慮しなくてよい。光子の速さを c，光子 1 個のエネルギーを f とする。容器の壁の法線と角度 i をなして衝