βz1 = (b + ci)(−1+2i) = −b − 2c + (2b − c )i, βz2 = (b + ci)(3 − i)=3b + c

解析学 A 第 4 回演習
第 4 回演習問題: 次の追加問題 1,2 です．必ず計算過程を書いて提出する事．
(ヒント) 追加問題 1 は例題 1，追加問題 2 は例題 2 を参考にせよ．
提出期限と場所：11 月 27 日 (木) 授業開始前に教室にて回収する．
追加問題 1. 複素数平面上の 2 点 z1 = 1 − i, z2 = −2 + 3i を通る直線の方程式を求めよ．
追加問題 2. 複素数平面上の 3 点 z1 = 4i, z2 = −2, z3 = 1 + 3i を通る円の方程式とその円の中心と半径
を求めよ．
例題 1. 複素数平面上の 2 点 z1 = −1 + 2i, z2 = 3 − i を通る直線の方程式を求めよ．
(解答例) 求める直線上の点を z ∈ C とすると，求める直線の方程式は，βz + βz + d = 0 · · · °
1 (β ∈
C \ {0}, d ∈ R) と表される．β = b + ci (b, c ∈ R) と表すと，
βz1 = (b + ci)(−1 + 2i) = −b − 2c + (2b − c)i,
βz2 = (b + ci)(3 − i) = 3b + c + (3c − b)i.
また，βz + βz = 2Re(βz) より，°
1 に z = z1 , z2 を代入すると
{
{
2(−b − 2c) + d = 0
−2b −4c +d = 0 · · · °
2
∴
2(3b + c) + d = 0
6b +2c +d = 0 · · · °
3
°
2°
3 は，同次連立 1 次方程式なので係数行列を簡約化すると
[
]
[
]
[
−2 −4 1
−2 −4 1
−2 −4
→
→
6
2 1
0 −10 4
0
1
[
]
[
]
3
−2 0 − 53
1 0
10
→
→
0 1 − 52
0 1 − 25
{
1
]
− 25
3
d =0
+ 10
3
d, c = 25 d となる．ここで，
これより，b = − 10
c − 25 d = 0
d は 0 でない任意の実数でよいので，例えば d = −10 とすると b = 3, c = −4．よって，解の一つとして，
β = 3 − 4i, d = −10 を得る．従って，求める直線の方程式 °
1 は，(3 − 4i)z + (3 + 4i)z − 10 = 0.
これより，°
2°
3 は次と同値である：
b
(別解) 求める直線上の点を z ∈ C とすると，求める直線の方程式は，Im(
z − z1
) = 0 と表される.
z2 − z1
z − z1
z − (−1 + 2i)
z + 1 − 2i
(z + 1 − 2i)(4 + 3i)
=
=
=
z2 − z1
(3 − i) − (−1 + 2i)
4 − 3i
(4 − 3i)(4 + 3i)
4z + 4 − 8i + 3iz + 3i + 6
(4 + 3i)z + 10 − 5i
=
=
,
42 + 32
25
(
) (
)
z − z1
(4 + 3i)z + 10 − 5i
(4 − 3i)z + 10 + 5i
∴
=
=
,
z2 − z1
25
25
{
)}
(
z − z1
1
z − z1
−i
z − z1
∴ Im(
)=
−
=
{(4 + 3i)z − (4 − 3i)z − 10i}
z2 − z1
2i z2 − z1
z2 − z1
50
=
1
{(3 − 4i)z + (3 + 4i)z − 10} = 0.
50
∴ (3 − 4i)z + (3 + 4i)z − 10 = 0
例題 2 は裏面にあります
1
例題 2. 複素数平面上の 3 点 z1 = 1, z2 = 1 + 2i, z3 = i を通る円の方程式とその円の中心と半径を求
めよ．
(解答例) 求める円上の点を z ∈ C とすると，求める円の方程式は，|z|2 + βz + βz + d = 0 · · · °
1
2
(β ∈ C, d ∈ R ; |β| > d) と表される．β = b + ci (b, c ∈ R) と表すと，
βz1 = (b + ci)1 = b + ci,
βz2 = (b + ci)(1 + 2i) = b − 2c + (2b + c)i,
また，βz + βz = 2Re(βz) より，°
1にz


1 + 2b + d

5 + 2(b − 2c) + d


1 − 2c + d
βz3 = (b + ci)i = −c + bi
= z1 , z2 , z3 を代入すると


=0
+d = −1 · · · °
2
 2b
∴
=0
2b −4c +d = −5 · · · °
3


=0
−2c +d = −1 · · · °
4
°
2°
3°
4 は，非同次連立 1 次方程式なので拡大係数行列を簡約化すると






2
0 1 −1
2
0 1 −1
2
0 1 −1






1 0
1 
 2 −4 1 −5  →  0 −4 0 −4  →  0
0 −2 1 −1
0 −2 1 −1
0 −2 1 −1




2 0 0 −2
1 0 0 −1




→ 0 1 0
1  → 0 1 0
1 
0 0 1
1
0 0 1
1

2 0

→ 0 1
0 0

1 −1

0
1 
1
1
これより，b = −1, c = 1, d = 1 となる．よって，β = −1 + i, d = 1 を得る．これは，|β|2 > d をみた
す．従って，求める円の方程式 °
1 は，|z|2 + (−1 + i)z + (−1 − i)z + 1 = 0.
この円の方程式を変形すると
|z|2 + (−1 + i)z + (−1 − i)z + 1 = zz − (1 − i)z − (1 + i)z + 1
= z{z − (1 − i)} − (1 + i){z − (1 − i)} − (1 + i)(1 − i) + 1
= {z − (1 + i)}{z − (1 − i)} − 2 + 1
= {z − (1 + i)}{z − (1 + i)} − 1
= |z − (1 + i)|2 − 1 = 0.
よって，中心 1 + i，半径 1 の円である．
2
∴ |z − (1 + i)|2 = 12 .

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