専門科目（午前） 26 大修創造エネルギー

専門科目（午前）創造エネルギー２６大修
時間９：３０～１１：００
［問題１］（数学）［問題２］（物理学）注意事項
１．［問題１］および［問題２］を解答せよ。
２．解答は１題ごとに別々の解答用紙に記入せよ（解答用紙２枚を回収する）。
３．各解答用紙に必ず問題番号および受験番号を記入せよ。
４．定規，コンパス，電卓は使用してはいけない。
1
[問題１]（数学）
問 1
  
三次元直交座標 x, y, z の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i , j , k と記す。ベクトル関数

u ( x, y, z ) とスカラー関数  ( x, y, z ) を以下の式によって定義する。




u ( x, y, z)  yz i  x 2 z j  2 k ，  ( x, y, z )  x 2  z
次の式を計算せよ。
（１） 

（２）   u

（３） u   

（４） u  

（５）   u    
ただし，  
     
i
j  k とする。
x
y
z
問２三角関数 f ( x)  sin( x)  sin(2 x) に対し，
（１）定積分



f ( x)dx と
2
0
  f ( x) dx
2
2
を求めよ。
0
（２）以下の不等式が成り立つための実数 a の範囲を示せ。
2
2
a   f ( x)  dx    f ( x)dx   0
0
 0


2
問３

2
微分可能な関数 f (x) は，任意の実数  と  に対し，以下の関係式を満たしている。
f (   )  f ( )  f ( )  5
（１） f (0) 
df
dx
 10 であるとき， f (x) を求めよ。
x 0
（２）閉区間  4,4 における f (x) の最小値と最大値を求めよ。
２
[問題２]（物理学）
問１図 1 は内半径 a，外半径 b の無限長の同軸円筒電極の間に誘電率 ε の均質な誘電体を一様に
詰めたコンデンサーを表している。以下の問いに答えよ。
(1) 内側の円筒電極に単位長さあたり λ の電荷を与えたとする。半径 r (ただし a ≤ r ≤ b)の位置にお
ける電束密度の大きさ D および電界の大きさ E を求めよ。
(2) このコンデンサーの単位長さあたりの電気容量(静電容量) C を求めよ。
a
0
b
r
図１
（
［問題２］は次ページへ続く）
3
問２図 2 に示すように 2 つの容器 A, B が栓 C を介してつながれている。容器 A, B の容積を VA，
3
VB [m ]とする。栓 C を閉じた状態で，容器 A は温度 T1 [K]で n [mol]の理想気体で満たされており，
容器 B は真空となっている。その後，栓 C を開放し，容器 A に充填されていた理想気体を自由膨
張させた。 2 つの容器 A, B および栓 C と外界の間に熱の出入りがないとする。また，気体定数を
R [J/(mol·K)]として，以下の問いに答えよ。ただし，導出の過程を明示すること。
(1) この過程に伴う理想気体の温度変化を求めよ。
(2) この過程に伴う理想気体のエントロピー変化を求めよ。
B
A
C
B
A
C
図2
（
［問題２］は次ページへ続く）
4
問３
図 3 に示すようにサイクロイド
x  aφ  sin φ
ただし a  0 ，    φ  
y  a1  cos φ
で表される滑らかな曲線上で，重力による振動をしている質量 m の質点を考える。振動運動は図 3
に示した 2 次元平面内で行われるものとする。重力は –y 方向に作用するとし，重力加速度を g と
する。質点の位置を P，サイクロイドの最下点を Q とする。以下の問いに答えよ。なお，必要に応
じて以下の等式を用いてもよい。
α
1  cos α

2
2
α
sin α
tan 
2 1  cos α
cos
(1)
(2)
(3)
(4)
質点の位置 P における曲線の接線と水平方向のなす角 θ を求めよ。
最下点 Q から質点の位置 P までの曲線の長さ s を求めよ。
曲線に沿った質点の運動方程式を求めよ。
振動の周期は振幅によらず一定であることを示せ。
y
x
O

P
Q
mg
-2a
図3
5

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