期末試験問題及び解答

H26 年度前期
材料力学 II 期末試験
2014 年 7 月 28 日
実施
〔１〕線形弾性物体の全補ひずみエネルギーを U * （値としてはひずみエネルギーU と等しい）とし，コ
ンプリメンタリー外力ポテンシャル関数を VE* = ! " Ti ui dS と表すものとする．ここに， Ti は単位面積当
S
たりの表面力（外力）， ui は変位， S は物体表面である．ただし，単位体積あたりの補ひずみエネルギ
ーを W * （つまり，U * =
!
V
W *dV ， V は物体体積）とするとき，ひずみが ! ij = "W * / "# ij （ここに，! ij は
応力）で与えられる場合を考える．以下の問いに答えよ．物体力は無視して良い．
（１）コンプリメンタリーエネルギーを ! * = U * + VE* と定義するとき，最小コンプリメンタリーエネル
ギーの原理と補仮想仕事の原理が等価であることを示せ．
【10 点】
（２）構造物が集中荷重系 QI ( I = 1, 2, …, n )（n は集中荷重の個数）を受けるとする．ここで，qI を，
QI の作用点における QI の作用方向の変位とするとき， VE* を QI と qI を用いて表せ．【5 点】
（３）最小コンプリメンタリーエネルギーの原理からカスティリアノの第２定理を導出せよ．補ひず
みエネルギー U * は集中荷重 QI の関数として表現できていることを前提としてよい．【10 点】
〔２〕右の図に示すように，長さ，ヤング率，断面積が， l ， E ， A である棒
２本の先端をピン結合し，他端を剛で水平な天井にピン結合した．２つの棒
は左右対称に設置され，２つの棒のなす角を 2 ! とする．今，この構造の下端
部（図中の節点 C）に水平右向き荷重 Q を加えた．以下の問いに答えよ．
（１）棒に作用する内力（軸力）を求めよ*1．
【5 点】
（２）節点 C の水平変位を求めよ．
【5 点】
1
*:
ヒント→節点 C における釣り合いから簡単に求められる．
〔３〕右の図に示すような，端点 C にモーメント荷重 M 1 を受ける逆 L 型
はり構造において，端点 C の垂直変位 ! CV と回転角 ! C を求めよ．ただし，
曲げ変形のみを考慮するものとし，曲げ剛性 EI はすべての部分で一定と
する．
【10
2=20 点】
〔４〕右の図のように，線形分布荷重を受ける不静定はりがある．
曲げ剛性 EI はすべての部分で一定とする．以下の問いに答えよ．
（１）はりに作用する反力，反モーメントを図示せよ．
【5 点】
（２）支点 A からはりが受ける反力 RA を不静定力に選び，こ
れを用いてひずみエネルギーU を表現せよ．積分は実行
せず ! 記号は残したままの表現で良い．【5 点】
（３）カスティリアノの第２定理を用いて反力 RA を求めよ．【5 点】
（４）残りのすべての反力および反モーメントを求めよ．【5 点】
（５）曲げモーメント図（BMD）とせん断力図（SFD）を描け．【2
〔５〕 x1
5 点】
! x2 平面内にある板が，平面応力状態にあるものとする．以下の問いに答えよ．
（１）平面応力とはどのような状態をいうか説明せよ．
【10 点】
（２）次のケースについて最大主応力 ! 1 と最小主応力 ! 2 を求めよ．【5 点】
! 11 = 100 MPa, ! 22 = "50 MPa, ! 12 = 30 MPa
H26 年度前期材料力学 II 期末試験解答
〔１〕
（１）
題意より，
! * = " W *dV # " Ti ui dS
V
S
応力（力）に関して変分をとり，停留条件 !" * = 0 を考えると，
!" * =
#W *
%V #$ ij !$ ij dV & %S ! Ti ui dS = 0,
ひずみが ! ij = "W * / "# ij により与えられる物体を前提にしているので，
!" * = % !# ij $ ij dV & % ! Ti ui dS = 0 ．
V
S
上式は補仮想仕事の原理そのものである．
（２）
n
VE* = ! " Ti ui dS # ! $ QI qI
S
I =1
（３）
n
! * = U * (QI ) " # QI qI
I =1
& %U
)
$! * = # (
" qI +$ QI = 0
I =1 ' %QI
*
*
%U
,
= qI
%QI
n
*
〔２〕
（１）棒の軸力（引張を正）を T1（左側の棒）
，T2（右側の棒）とすると，節点 C における力の
釣り合いより，
T1 =
Q
Q
, T2 = "
2 sin !
2 sin !
（２）全ひずみエネルギーは，
T12l
T2 2l
Q 2l
U=
+
=
.
2AE 2AE 4AE sin 2 !
カステリアノの第２定理より，
! CH =
"U
Ql
=
"Q 2AE sin 2 #
1
〔３〕
カステリアノの第２定理を適用するために，点 C に鉛直下向きの荷重 Q1 を加えておく．
水平部材 CB の曲げモーメントは，点 C から右向きに x を取り，下側引張りのときを正と
定義すると， M = !Q1 x ! M 1 . 垂直部材 BA の曲げモーメントは，点 B から下向きに x を
取り，内側引張りのときを正とすると， M = !Q1 L ! M 1 .
全ひずみエネルギーは，
U=
!
L
0
2
L (Q L + M )
(Q1 x + M 1 )2
1
1
dx + !
dx
0
2EI
2EI
%
#U
3M 1 L2
=
' " CV =
#Q1 Q = 0
2EI
'
1
!&
2M 1 L
' $ = #U
=
' C #M
EI
1 Q1 = 0
(
〔４〕
（１）右図のとおり．
（２）点 A から右向きに x をとり，下側引張りを正とす
る場合の曲げモーメントの式は， M = !
w0 3
x + RA x .
6L
2
" w0 3
%
x + RA x '
$!
L#
&
6L
よってひずみエネルギーは，U = (
dx .
0
2EI
（３）
# w0 3
&
"
x + RA x (
%
L$
'
!U
6L
0=
=)
x dx
0
!RA
EI
* RA =
w0 L
10
2w0 L
w0 L2
, MB =
（４） RB =
.
5
15
（５）上の図のとおり．
〔６〕
（１）板厚方向の垂直応力を零（ ! 33 = 0 ），さらに， ! 23 = ! 31 = 0 と見なすことが妥当と判断され
るような薄い平板の面内に生ずる応力状態のこと．
（２） ! 1 = 106 MPa, ! 2 = "55.8 MPa,
2

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