2014 年度高１数学 α 演習１（一般角と弧度法） 1 次の角を弧度法に直せ． (1) 30◦ 2 (3) 15◦ 5π (2) 12 (3) 74 π (2) π 4 (3) π 6 (6) 3π (7) −330◦ (8) 135◦ (11) − 74 π (12) −120◦ (13) 90◦ (4) −π (5) − 32 π (9) 10 3π (14) − 54 π (10) −300◦ 次の扇形の弧の長さ ℓ と面積 S をそれぞれ求めよ． (1) 半径 4，中心角 π 3 5 (4) − 23 π 次の角を，同じ動径を表すもの同士で分類せよ． (1) π 3 4 (4) −270◦ 次の角を度数法に直せ． (1) π 4 3 (2) 135◦ (2) 半径 5，中心角 150◦ θ の動径は第何象限にあるか．角 θ の動径が第 2 象限にあるとき， 3 (15) 94 π 6 半径がそれぞれ 6 と 1 で，中心間の距離が 10 の 2 つの円がある．この円の外側に 1 本の紐を一回りかけるとき，その長さを求めよ． ( √ ) 座標平面上の 2 点 P 1， 3 と Q(1，0) を結ぶ線分 PQ がある．線分 PQ を原点 O を中心にして反時計回りに π 3 だけ回転させるとき，線分 PQ が通過してできる図形の周の長さ L と面積 S を求めよ． y 7 √ 3 P Q O 1 x 解答 1 (1) π 6 (2) 3π 4 π (3) 12 (4) − 3π 2 2 (1) 45◦ (2) 75◦ (3) 315◦ (4) −120◦ 3 (1) と (10) (2) と (11) と (15) (8) と (14) (9) と (12) (3) と (7) (4) と (6) (5) と (13) 4 (1) ℓ = = (2) ℓ = = 5 4· π 3 4π 3 S 5 · 5π 6 25π 6 S = = = = 1 · 4 · 4π 2 3 8π 3 1 25π 2 ·5· 6 125π 12 π + 2nπ < θ < π + 2nπ (n ∈ Z) なので， 2 π 2n θ π 2n + π< < + π 6 3 3 3 3 π 3 y θ 3 の動径が存在し得る領域は右図の斜線 θ の動径は k ∈ Z と部分．したがって， 3 π 2 して     n = 3k のとき第 1 象限    n = 3k + 1 のとき第 2 象限 n = 3k + 2 のとき第 4 象限にある． π 2 O π 2 π 6 x 6 下の図から，紐が真っ直ぐに張られる部分の長さは，2 · √ √ 102 − 52 = 10 3．したがって，全体の紐の長さは √ √ 2π 4π 26π 10 3 + 1 · +6· = 10 3 + 3 3 3 1 5 10 2π 3 4π 3 7 y 線分 PQ が通過してできる図形は右図の斜 P′ P 線部分である．2 点 P，Q が回転移動した後の点をそれぞれ P′ ，Q′ とすると， ⌢ ⌢ L = PQ + PP′ + P′ Q′ + Q′ Q √ π √ π = 3+2· + 3+1· 3 3 √ = 2 3+π π 3 Q′ π 3 O Q 1 S = △OPQ + (扇形 OPP′ ) − △OP′ Q′ − (扇形 OQQ′ ) = (扇形 OPP′ ) − (扇形 OQQ′ ) 1 2 π 1 2 π = ·2 · − ·1 · 2 3 2 3 π = 2 (∵ △OPQ ≡ △OP′ Q′ ) x