平面図形配布資料(2)

数学 6 月第 4 週小テスト平面図形配布資料
氏名
※試験当日は本配布資料を持参し、参考資料として使用してもよい。
1 円と扇型の性質
こ
おうぎがた
(4) 扇形
円 O の 2 つの半径と弧で囲まれた図形を、扇
げん
(1) 円の弧と弦
形という。このとき、̸ AOB を、扇形 OAB
点 O を中心とする円を、円 O といい、円の
の中心角という。
周のことを円周という。
円周上に 2 点 A、B をとるとき、円周の A
⌢
から B までの部分を、弧 AB といい、AB
⌢
と書く。また、AB の両端の点を結んだ線分
を、弦 AB という。
O
弧
B
半径と中心角が等しい扇形の弧の長さや面
弦
A
扇形
A
積は等しい。
B
はんえん
また、中心角が 180◦ の扇形を特に半円と
いう。
弧
(2) 中心角
円の中心 O と円周上の 2 点 A、B を結んだ
⌢
O
A
ときにできる AOB を、AB に対する中心
̸
⌢
180
角という。また、AB を、中心角 ̸ AOB に
B
◦
半円
対する弧という。
このとき、AB を半円の直径という。
2 扇形
O
中心角
A
(1) 円の周の長さと面積
B
半径 r の円の周の長さを ℓ、面積を S とす
ると、
周の長さ ℓ = 2πr
(3) 円と直線
円 O と直線 ℓ が 1 点 A で交わるとき、直
せっ
線 ℓ は円 O に接するといい、直線 ℓ を円 O
せっせん
せってん
の接線、点 A を接点という。
面積 S = πr 2
円周率は、円周の直径に対する割合で、お
よその値として、3.14 がよく使われる。こ
パイ
の円周率を、ギリシャ文字 π で表す。
(2) 扇形の弧の長さと面積
半径 r、中心角 a◦ の扇形の弧の長さを ℓ、面
積を S とすると、
O
ℓ = 2πr ×
a
360
S = πr2 ×
ℓ
接点A
接線
円の接線は、その接点を通る半径に垂直で
ある。
ℓ
S
a◦
r
a
360
半径の等しい円と扇形（中心角は a◦ ）では、
（扇形の弧の長さ）:（円の周の長さ）= a : 360
同様に、点 B を中心とした半径 2cm、
中心角 90◦ の扇形の面積は、
（扇形の面積）:（円の面積）= a : 360
また、半径 r、弧の長さ ℓ の扇形の面積 S は、
1
S = ℓr という式で求めることができる。
2
90
= π(cm2 )
360
π × 22 ×
(2)
（影をつけた部分の面積）= (31) − (32)
より、
4π − π = 3π(cm2 )
rr
答弧の長さ · · · (3π + 4)cm、面積 · · · 3πcm2
S
(3) 扇形の中心角
例題
ℓ
半径 24cm、弧の長さ 4πcm の扇形の中
例題
半径 8cm、中心角 135◦ の扇形の弧の長
さと面積を求めよ。
心角の大きさを求めよ。
解き方
中心角を x◦ とすると、
解き方
4π : (2π × 24)
135
弧の長さ
2π × 8 ×
= 6π(cm)
360
135
面積 π × 82 ×
= 24π(cm2 )
360
答弧の長さ · · · 6πcm、面積 · · · 24πcm2
例題
下の図形の影をつけた部分の周の長さ
と面積を求めよ。
A
4cm
48π × x
x
=
x : 360
= 4π × 360
= 30
答 30◦
別解
4π = 2π × 24 ×
x
より、x = 30
360
(4) 扇形の作図
例題
D
半径 3cm、中心角 90◦ の扇形を作図せ
よ。
2cm
解き方
4cm
E
i. 線分 AB を引く。
B
F 2cm
C
ii. 線分 AB 上であって、点 B から 3cm
のところを点 O とする。
解き方
⌢
iii. 点 O を通り、線分 AB に垂直な直
線 ℓ を引く。
AC の長さは、
2π × 4 ×
90
= 2π(cm)
360
iv. 直線 ℓ 上であって、点 O から 3cm
のところを点 C とする。
⌢
同様に、 EF の長さは、
v. 点 O を中心とした弧 BC を描く。
90
2π × 2 ×
= π(cm)
360
C
また、AE = CF = 2cm より、周の長
さは、
3cm
2π + π + 4 = 3π + 4(cm)
点 B を中心とした半径 4cm、中心角 90◦
の扇形の面積は、
π × 42 ×
90
= 4π(cm2 )
360
A
(1)
B
O
ℓ
3cm

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