Akbulut-Karakurt 論文の内容紹介
山田 裕一∗
２０１４年５月１３日 講演分
次の条件をみたす diagram L = K1 ∪ K2 in S 3 をもつ Stein corks W = W (L) について考える.
典型的な W の例は the Mazur manifold：
・K1 , K2 are unknotted ・lk(K1 , K2 ) = ±1 ・∃ Involution τ : K1 ↔ K2
・admits a Stein diagram h0 ∪ h1 ∪ h2 （h2 is attached by tb − 1 framing）
主定理 The involution τ on ∂W acts non-trivially on HF + (−∂W ). In fact,
c+ (ξ) 6= τ ∗ (c+ (ξ))
∈ HF + (−∂W )
+
Moreover, c+ (ξ) 6= τ ∗ (c+ (ξ)) in HFred
(−∂W ) = Coker : HF ∞ (−∂W ) → HF + (−∂W ).
Heegaard Floer Homology について
1
主に [OS3] から.
(Y, t) で Spinc 構造を指定した３次元多様体とする. Y の Heegaard 分解 (Σ; α, β; z) をもとに, 対称積
Σg /Sg 内の Lagrangian torus Tα , Tβ が構成され（詳細は省略）, 以下の chain complex が構成され, そ
d , HFred ）が構成される.
のホモロジー HF ◦ (Y, t)（◦ = ∞, +, −, HF
d
CF
CF
∞
= < x ∈ Tα ∩ Tβ >
= < [x, i] | x ∈ Tα ∩ Tβ , i ∈ Z >
CF − = < [x, i] | x ∈ Tα ∩ Tβ , i ∈ Z, i < 0 >
CF + = CF ∞ /CF −
CF の元には 相対 grading（状況に依っては absolute grading）が定まる. また, 次のような作用素 U を
導入して, 係数環は Z[U ] などを用いる.
U の作用：U の作用は次の通り. grading を２つ下げる.
U [x, i] = [x, i − 1],
∗
gr([x, i]) = gr(x) + 2i
The author was supported by KAKENHI (Grant-in-Aid for Scientific Research) No.24540070.
1
◦
＃ U の幾何的な意味が分かりにくいのですが, 後述の F(X,s)
の非自明 degree d(X, s) や Blow up 公式
（定理 3）などから推測しますと, “bound する４次元多様体の中で交叉形式などがどうなるかを境界で
測る目盛りの単位 (Unit)”という感じがします.
d = < x >, ∂[x, i] = 0 のとき
計算例１（代数的）
：CF
−i
[x, 0] を x（[x, i] = U x）と表すことにすると
HF ∞ = Z[U, U −1 ] < x >,
HF − = U · Z[U ] < x > = Z[U x] ⊕ Z[U 2 x] ⊕ Z[U 3 x] ⊕ · · ·
/
+
HF + = Z[U, U −1 ] < x > U · Z[U ] < x > = Z[U −1 ] < x > ∼
= T(deg
x)
d = < x, y >, ∂[x, i] = [y, i − 1], ∂[y, i] = 0 のとき
計算例２（代数的）
：CF
HF ∞ = {0}
HF − = Z < U y >
HF + = Z < x > ∼
=Z
CF には次の自然な pairing が備わっている（Y の Heegaard 分解 (Σ; α, β; z) に対して −Y の Heegaard
分解として (−Σ; α, β; z) を用いる.）
h , i : CF ∞ (Y ) ⊗ CF ∞ (−Y ) −→ Z
by
1 if x = y and i + j + 1 = 0
h [x, i] , [y, j] i =
0 otherwise
この paring から 次が定まる.
h , i : HF ∞ (Y ) ⊗ HF ∞ (−Y ) −→ Z
h , i : HF + (Y ) ⊗ HF − (−Y ) −→ Z
+
−
h , i : HFred
(Y ) ⊗ HFred
(−Y ) −→ Z
幾何的な例１： S 3 の場合
Z
HFn+ (S 3 ) =
0
Z
HFn− (S 3 ) =
0
n ≡ 0 (2) and n ≥ 0
otherwise
+
= T(0)
n ≡ 0 (2) and n ≤ −2
otherwise
−
−
3
記号： HF0+ (S 3 ) の生成元を Θ+
0 , HF−2 (S ) の生成元を Θ−2 とする.
2
α1 β1
α1 β1
α2 β2
図 1: S 1 × S 2 , ]2 S 1 × S 2 の Heegaard 分解
記号： “生成元の U −1 による軌道が並んでいる”
+
T(s)
=
∞
⊕
Z(s+2n) =
n=0
∞
⊕
Z[Θ+
s+2n ],
+
U n Θ+
s+2n = Θs
n=0
幾何的な例２ [OS3, p.341]： (]n S 1 × S 2 , t), c1 (t) = 0 の場合
d (]n S 1 × S 2 ) =
HF
∧∗ H 1 (]n S 1 × S 2 )
(rank = 2n )
HF ∞ (]n S 1 × S 2 ) = Z[U, U −1 ] ⊗Z ∧∗ H 1 (]n S 1 × S 2 )
HF − (]n S 1 × S 2 ) = (U · Z[U ]) ⊗Z ∧∗ H 1 (]n S 1 × S 2 )
HF + (]n S 1 × S 2 ) =
Z[U −1 ]
⊗Z ∧∗ H 1 (]n S 1 × S 2 )
例えば, H 1 (S 1 × S 2 ) = Z[a], H 1 (]n S 1 × S 2 ) = Z[a1 , · · · an ] として
d (S 1 × S 2 ) = ∧∗ H 1 (S 1 × S 2 )
HF
= ∧0 ⊕ ∧1
= Z · 1 ⊕ Z[a]
d (S 1 × S 2 ]S 1 × S 2 ) = ∧∗ H 1 (S 1 × S 2 ]S 1 × S 2 )
HF
= ∧0 ⊕ ∧1 ⊕ ∧2
= Z · 1 ⊕ Z[a1 , a2 ] ⊕ Z[a1 ∧ a2 ]
3
β2
A
C
A
β1
B
B
B
B
C
α2
α3
A
β3
C
A
α1
C
図 2: T 3 の Heegaard 分解
幾何的な例３ [OS, p.50]： T 3 = S 1 × S 1 × S 1 の場合, H1 (T 3 )-module として
d (T 3 ) = H 2 (T 3 ) ⊕ H 1 (T 3 )
HF
HF ∞ (T 3 ) = (H 2 (T 3 ) ⊕ H 1 (T 3 )) ⊗Z Z[U, U −1 ]
HF + (T 3 ) = (H 2 (T 3 ) ⊕ H 1 (T 3 )) ⊗Z Z[U −1 ]
gr(H 2 (T 3 )) = 1/2, gr(H 1 (T 3 )) = −1/2.
d = 6 なのか よくわかりません：図 2.
＃ T 3 の Heegaard 図式を描いても, なぜ rank HF
以下は 論文 [AD, OS] で紹介されている具体例：
+
HF + (Σ(2, 3, 5)) ∼
= T(2)
+
HF + (−Σ(2, 3, 5)) ∼
= T(−2)
+
HF + (Σ(2, 3, 7)) ∼
⊕ Z(−1)
= T(0)
+
HF + (−Σ(2, 3, 7)) ∼
⊕ Z(0)
= T(0)
(
(
1 )
+
⊕ Zn(−1)
HF + (41 ; ) = HF + Σ(2, 3, 6n + 1)) ∼
= T(0)
n
+
HF + (Σ(2, 5, 7)) ∼
⊕ Z2(−1)
= T(0)
+
HF + (−Σ(2, 5, 7)) ∼
⊕ Z2(0)
= T(0)
+
HF + (ΣMazur ) ∼
⊕ Z(0) ⊕ Z(0)
= T(0)
これらは Casson 不変量などとも合う（後述 §4）.
4
p
q
r
図 3: M (p, q, r) = (Borromian link; p, q, r)
例：論文 [OS2]（最後の２つは, 論文 [OS]）で計算されている具体例
M (p, q, r) = (Borromean ring; p, q, r) を表すとする. 特に
M (−1, −1, r) = (T (2, 3)!; r)
M (−1, −1, −1) = (T (2, 3)!; −1) = Σ(2, 3, 5),
M (−1, −1, 1) = (T (2, 3)!; 1) = −Σ(2, 3, 7),
M (−1, 1, 0) = (41 ; 0)
M (1, 0, 0) = (Wh; 0, 0)
HFk+ ( M (−1, −1, −1) ) = Z if k ≡ 0(2) and k ≥ 2
HFk+ ( M (−1, −1, 0) ) = Z if k ≡ 1/2(1) and k ≥ 1/2
Z ⊕ Z if k = 0
HFk+ ( M (−1, −1, 1) ) =
Z
if k ≡ 0(2) and k > 0
Z ⊕ Z if k = −1/2
HFk+ ( M (−1, 1, 0) ) =
Z
if k ≡ 1/2(1) and k ≥ 1/2
HFk∞ ( M (1, 0, 0) ) = Z ⊕ Z
for each k
2
2
d ( M (1, 0, 0) ) = Z
HF
(−1) ⊕ Z(0)
5
For any (Y, t),
{0} −→ CF − (Y, t) −→ CF ∞ (Y, t) −→ CF + (Y, t) −→ {0}
ι
π
が誘導する
−→ HF − (Y, t) −→ HF ∞ (Y, t) −→ HF + (Y, t) −→
ι
π
において
定理 1.
−
+
HFred
(Y, t) := Ker ι ∼
(Y, t)
= Coker π =: HFred
定理 2. There exists an exact sequence
−→ HF + (S 3 ) −→ HF + (S03 (K)) −→ HF + (S13 (K)) −→
whose degree shifts of the middle two maps are −1/2, and also
3
−→ HF + (S−1
(K)) −→ HF + (S03 (K)) −→ HF + (S 3 ) −→
例：K is the unknot, S03 (K) = S 1 × S 2
−→
HF + (S 3 )
..
.
−→
HF + (S03 (K))
..
.
−→
HF + (S13 (K))
..
.
Z(4)
{0}
Z(2)
{0}
Z(0)
Z(3.5)
Z(2.5)
Z(1.5)
Z(0.5)
Z(−0.5)
Z(4)
{0}
Z(2)
{0}
Z(0)
k
T(0)
k
T(−0.5) ⊕ T(0.5)
k
T(0)
6
−→
0
−2
0
−1
−5
−4
−2
図 4: my P (−3, 3, 3), Mazur manifold, Σ(2, 5, 7)
注：[OS, OS3] では Pretzel knot P (−3, 3, 3) （の記号）が私のものと鏡像です.
例 ([AD] で下記の？の計算を実践)： K = Pr(−3, 3, 3), S13 (K) = Σ(2, 5, 7)
−→
HF + (S 3 )
..
.
−→
HF + (S03 (K))
Z(4)
{0}
Z(2)
{0}
Z(0)
{0}
T(0)
−→
HF + (S13 (K))
..
.
−→
Z(4)
{0}
Z(2)
{0}
Z(0)
Z(−1) ⊕ Z(−1)
？
⇓
T(−0.5) ⊕ T(0.5)
⊕Z(−0.5) ⊕ Z(−0.5)
T(0) ⊕ Z(−1) ⊕ Z(−1)
3 (K) = Σ
例 ([AD] 同上)： K = Pr(−3, 3, 3), S−1
Mazur .
−→
3 (K))
HF + (S−1
？
⇓
T(0) ⊕ Z(0) ⊕ Z(0)
−→
HF + (S03 (K))
..
.
−→
HF + (S 3 )
..
.
Z(3.5)
Z(2.5)
Z(1.5)
Z(0.5)
Z(−0.5) ⊕ Z(−0.5) ⊕ Z(−0.5)
Z(4)
{0}
Z(2)
{0}
Z(0)
T(−0.5) ⊕ T(0.5)
⊕Z(−0.5) ⊕ Z(−0.5)
T(0)
7
−→
定理 3. ([OS3, Lemma 8.2], Blow up formula)
Let W = ([0, 1] × Y )]CP 2 . For each Spinc structure t on Y , the map
◦
FW,s
: HF ◦ (Y, s) → HF ◦ (Y, s)
is the action of U `(`+1)/2 , where s is characterized by c1 |Y ×{0} = t and hc1 (s), Ei = ±(2` + 1) with
` ≥ 0.
Note that the degree shift of U `(`+1)/2 is −`(` + 1) and
c1 (s)2 − (2χ(W ) + 3σ(W ))
−(2` + 1)2 − (2 · 1 + 3(−1))
=
= −`(` + 1)
4
4
2
Basic class
以下は [OS3] から.
Spinc cobordism (W 4 , s) : (Y1 , t1 )
cob
(Y2 , t2 ) （∂W = −Y1 ∪ Y2 , s|Yi = ti ）に対して ◦
FW,s
: HF ◦ (Y1 , t1 ) → HF ◦ (Y2 , t2 )
が up to sign で定まる. この写像は, その degree shift が
d(W, s) =
c1 (s)2 − (2χ(W ) + 3σ(W ))
4
のところ以外は zero map.
参考
W
CP 2
CP 2
K3
E(n)
c1 (s)
−3H
E
0
[T ]
c1 (s)2
9
−1
0
0
χ(W )
3
3
24
12n
σ(W )
+1
−1
−16
−8n
d(W, s)
0
−1
0
0
d(W２穴 , s)
1
0
1
1
論文 [OS2, p.19] の具体例：Let E be a plumbing negative E8 plumbing 4-manifold. By deleting a
disjoint open 4-ball from E, we regard it as −Σ(2, 3, 5)
cob
S3.
+
FE+穴 ,s : HF−2
(−Σ(2, 3, 5)) −→ HF0+ (S 3 )
is an isomorphism for a Spinc structure s. この例では χ(E穴 ) = 8, σ(E穴 ) = −8, c1 (s) = 0
d(s) =
c1 (s)2 − (2χ(E穴 ) + 3σ(E穴 ))
4
=2
＃注：negative E8 plumbing 4-manifold の境界は Σ(2, 3, 5) ですが, Cobordism の “底面” は法ベクトル
を逆向きにとって, 多様体の境界としての向きとは逆向きに扱うようです. （Y × [0, 1] は Y
なしますが境界は −Y ∩ Y なのと同様.）
8
cob
Y と見
補題 1. ([OS3, Theorem 3.4], Composition Low) Let W1 : Y1
connected cobordisms and W = W1 ∪Y2 W2 : Y1
Wi (i = 1, 2) such that s1 |Y2 = s2 |Y2 . Then
cob
cob
Y2 and W2 : Y2
Y3 be their composite. Fix
◦
◦
FW
◦ FW
=
2 ,s2
1 ,s1
∑
cob
Spinc
Y3 be a pair of
structures si on
◦
±FW,s
s
where the condition on s at the sumation is {s ∈ Spinc W | s|W1 = s1 , s|W2 = s2 }.
HF ∞ については 次が成り立つ
補題 2. ([OS3, Lemma 8.2]) For a Spinc cobordism (W 4 , s) : (Y1 , t1 )
cob
(Y2 , t2 ) with b+
2 (W ) > 0,
∞
FW,s
: HF ∞ (Y1 , t1 ) → HF ∞ (Y2 , t2 )
∞ = 0.
is a zero map：FW,s
mix が得られる
補題 2 を利用して, 次の W の admissible cut を経由することにより, 後の写像 FW,s
定義 4. Spinc cobordism (W 4 , s) 内の 3-manifold N が W を２つ W1 , W2 (b2 (Wi ) > 0) に分割し,
δH 1 (N ; Z) = {0} ⊂ H 2 (W, ∂W ; Z) のとき, admissible cut という.
例：b+
2 (W ) > 0 のとき, W 内で, 向き付け可能曲面 Σ をとってその管状近傍の境界 ∂N (Σ) を使って
N = Y1 ]∂N (Σ)（あるいは ∂N (Σ)]Y2 ）とすれば, N は admissible cut.
定義 5. ([OS3, Definition 8.3]) For a Spinc cobordism (W 4 , s) : (Y1 , t1 )
we can define
mix
FW,s
: HF − (Y1 , t1 ) → HF + (Y2 , t2 )
cob
(Y2 , t2 ) with b+
2 (W ) > 1,
mix は, 次の図式を追いかけることによる. 写像を逆向
admissible cut N をとり, s|N = t.5 とする. FW,s
きに進むところが２カ所あり, HF ∞ に関する補題 2 が効いている. また, 図式の中の δ −1 は連結準同型
δ （同型；定理 1）の逆写像. ここで grading を +1 することになる.
Ker ι ∼
=
Coker π ∼
=
HF − (Y1 , t1 )
↓
−
HF (N, t.5 )
∪
−
HFred (N, t.5 )
k ↓ δ −1
+
HFred (N, t.5 )
↑
+
HF (N, t.5 )
↓
+
HF (Y2 , t2 )
ι
−→
ι
−→
π
←−
π
←−
HF ∞ (Y1 , t1 )
↓0
∞
HF (N, t.5 )
HF ∞ (N, t.5 )
↓0
∞
HF (Y2 , t2 )
mix を定義するための図式］
［FW,s
9
命題 1. ([OS3, Proposition 8.7])
non-trivial.
mix is
There are only finitely many Spinc structures s of W , FW,s
定義 6. ([OS3, §9]) Let X be a closed 4-manifold with b+
2 (X) > 2 (and assume H1 (X) = {0}). By
deleting a pair of disjoint open 4-balls from X, we regard it as S 3
invariant of X to be the (Z-linear) map
cob
S 3 . We can define absolute
ΦX,s : Z[U ] −→ Z/{±1}
by
+
mix
n
FX,s
( U n Θ−
−2 ) = ΦX,s (U )Θ0
+
−
3
+
3
where Θ−
−2 (or Θ0 respectiely) is a generator of HF (S ) whose degree is maximal (or HF (S )
whose degree is minimal). The map ΦX,s vanishes on those homegeneous elements whose degree is
different from
c1 (s)2 − (2χ(X) + 3σ(X))
d(s) =
4
◦
(◦ = +, −, ∞) の nontrivial
＃注：この d(s) に関して, 丹下氏と相談しました：Cobordism の場合, FX
２穴
degree shift は
c1 (s)2 − (2χ(X２穴 ) + 3σ(X２穴 ))
d=
= d(s) + 1
4
mix のそれは, 構成の途中で HF − (N, t ) から HF + (N, t ) へ同一視するための連結準同
でしたが, FX,s
.5
.5
red
red
型（同型）の逆写像 δ −1 のため, grading が +1 ずれて
d + 1 = d(s) + 2
となるので
n −
gr(Θ+
0 ) − gr(U Θ−2 ) = 0 − (−2 − 2n) = 2n + 2
と比較して 2n = d(s) のところで意味のある情報が引き出せることになります.
定理 7. ([OS3, Theorem 10.1]) Let (Y, t) be a Spinc QHS with HFred (Y, t) = 0. Suppose that X
is a smooth closed oriented 4-manifold which admits a decomposition X1 ]Y X2 , with b+
2 (Xi ) > 1 for
c
i = 1, 2. For each Spin structure s with s|Y = t, then we have ΦX,s = 0.
定理 8. ([OS3, Theorem 1.5], Adjunction formula) Let Σ be a homologically non-trivial embedded
surface with genus g ≥ 1 and with non-negative self intersection number. Then for each Spinc structure
s with ΦX,s 6= 0, we have that
hc1 (s), [Σ]i + [Σ] · [Σ] ≤ 2g − 2
定理 9. ([OS2, Theorem 1.1]) If (X, ω) is a closed symplectic 4-manifold with b+
2 (X) > 1, then for
c
the canonical Spin structure k, we have
ΦX,k = ±1
10
命題 2. ([OS2, Proposition 1.1]) For the K3 surface,
1 if c (s) = 0
1
ΦK3,k =
0 otherwise
定理 10. ([OS2, Theorem 5.1]) Let π : X → S 2 be a relatively minimal Lefschetz fibration over the
c
sphere with b+
2 (X) > 1 whose generic fiber F has genus g > 1. Then for the canonical Spin structure
k, we have
hc1 (k), [F ]i = 2 − 2g, ΦX,k = ±1
Moreover, for any other Spinc structure s 6= k with ΦX,s 6= 0, we have
hc1 (k), [F ]i = 2 − 2g < hc1 (s), [F ]i.
3
Casson invariant
まず最初に Correction term の定義, 性質とその典型的な応用例を引用しておく.
定義 11. ([OS, p.21], Correction term) For a Spinc QHS (Y, t), d(Y, t) is the minimal grading of any
non-torsion element in the image of HF ∞ (Y, t) in HF + (Y, t).
補題 3. ([OS, Corollary 9.8], Correction term の性質)
d(Y1 ]Y2 , t1 ]t2 ) = d(Y1 , t1 ) + d(Y2 , t2 ),
d(Y, t) = d(Y, t),
d(−Y, t) = −d(Y, t)
ここで, 3-, 4-manifold の Spinc 構造を, それぞれ nowhere vanishing vector 場, almost complex str.
J で表すことにすれば, conjugation t 7→ t は v 7→ −v, J 7→ −J に対応する.
補題 4. ([OS, Corollary 9.8]) For a ZHS Y with d(Y ) < 0, there is no negative-definite 4-manifold X
with ∂X = Y , in fact
QX (ξ, ξ) + rkH 2 (X; Z) ≤ 4d(Y )
for each characteristic vector ξ.
さて, Y を整係数ホモロジー球面とする（よって Spinc 構造は一意的）とき,
λ(Y )
+
χ(HFred
(Y ))
d(Y )
： Casson 不変量
+
： HFred
のオイラー標数
： Correction term
の間に次の関係式が成り立つ.
定理 12. ([OS, p.30])
1
+
λ(Y ) = χ(HFred
(Y )) − d(Y )
2
11
ただし, Casson 不変量は λ(Σ(2, 3, 5)) = −1 となるよう正規化している（Σ(2, 3, 5) は negative definite
E8 plumbing の境界で, −1-framed 左手 trefoil）.
Casson 不変量の公式を思い出しておく.
)
(
n
1
λ (K; ) = ∆K 00 (1),
n
2
例：∆31 (t) = t − 1 + t−1 で ∆0031 (1) = 2. ∆41 (t) = −t + 3 − t−1 で ∆0041 (1) = −2.
また, Seifert 3-manifold (b; (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), · · · , (an , bn )) に対する値は
}/
{(
)
∑ 1
e
sgn(e) ∑
1
S(bi , ai )
2
2−n−
+
−
−
4
a2i 12e 12
i
ここで e = b +
i
∑ bi
. S(bi , ai ) は Dedekind 和で, 簡単なところでは
ai
i
S(1, p) =
(p − 1)(p − 2)
,
12p
S(2, p) =
(p − 1)(p − 5)
.
24p
前述の例で 公式を確認してみる.
Y
S3
HF + (Y )
+
T(0)
+
HFred
(Y )
{0}
+
χ(HFred
(Y ))
0
d(Y )
0
λ(Y )
0
Σ(2, 3, 5)
+
T(2)
{0}
0?
2?
−1
−Σ(2, 3, 5)
+
T(−2)
{0}
0
−2
1
Σ(2, 3, 7)
+
T(0)
⊕ Z(−1)
Z(−1)
−1
0
−1
−Σ(2, 3, 7)
+
T(0)
⊕ Z(0)
+
T(0) ⊕ Zn(−2)
+
T(0)
⊕ Zn(−1)
+
T(0)
⊕ Z2(−1)
+
T(0)
⊕ Z2(0)
+
T(0)
⊕ Z2(0)
Z(0)
1
0
1
Zn(−2)
Zn(−1)
Z2(−1)
Z2(0)
Z2(0)
n
0
n
−n
0
−n
−2
0
−2
2
0
2
2
0
2
(41 ; 1/n)
(41 ; −1/n)
Σ(2, 5, 7)
−Σ(2, 5, 7)
ΣMazur
Seifert invariants:
Σ(2, 3, 5) = (−1; (2, 1), (3, 1), (5, 1)),
Σ(2, 3, 7) = (−2; (2, 1), (3, 2), (7, 6)),
Σ(2, 5, 7) = (−2; (2, 1), (5, 4), (7, 5)),
−Σ(2, 3, 5) = (−2; (2, 1), (3, 2), (5, 4))
−Σ(2, 3, 7) = (−1; (2, 1), (3, 1), (7, 1))
−Σ(2, 5, 7) = (−1; (2, 1), (5, 1), (7, 2))
(41 ; 1/n) = −Σ(2, 3, 6n + 1) = (−1, (2, 1), (3, 1), (6n + 1, n))
12
4
Akbulut-Karakurt 論文の内容紹介
主定理 The involution τ on ∂W acts non-trivially on HF + (−∂W ). In fact,
c+ (ξ) 6= τ ∗ (c+ (ξ))
∈ HF + (−∂W )
+
Moreover, c+ (ξ) 6= τ ∗ (c+ (ξ)) in HFred
(−∂W ) = Coker : HF ∞ (−∂W ) → HF + (−∂W ).
+
例 ([AD])：HF + (ΣMazur ) = T(0)
⊕ Z(0) ⊕ Z(0) への τ ∗ の作用は２つの Z(0) の交換.
+
＃注：論文には「T(0) と 一方の Z(0) （の生成元）を交換」と書かれていますが, τ は involution なので
(τ ∗ )2 = id のはずです. 丹下さんが本人に確認して下さいました.
主定理の Key となる定理.
定理 13. [AO] Any Stein fillable contact manifold (Y, ξ) admits a concave symplectic filling V = V0 ∪V1 ,
where
V0 :
V1 :
Y
cob
Y0
0-framed 2-handle attachment
along the connected binding of the open book of ξ
surface bundle over S 1
LF over D2 extending Y0
Y0 :
V1 → D 2
with b+
2 (V ) ≥ 2.
W
V1
V0
V
∂W
Y
W
0
Y0
1
V1
V0
M
S3
S3
∂W
Y
τW
X
=
W
0
M
1
V
図 5: 参考図
［Step 1］まず, Contact 3-manifold (Y, ξ) を open book 表示 (Σ, ϕ) する. このとき, 必要なら positive
Hopf plumbing して, binding を連結に（つまり knot に）しておく. この knot に沿う 0-surgery を
13
cob
(Y0 , t0 ), この cobordism を V0 : Y
Y0 とする, ここで t0 , s は canonical Spinc 構造. Y0 は, Σ を close
b ϕ)
したもの を Fiber とする S 1 上の Fiber 束 (Σ,
ˆ となる. これについて
HF + (−Y0 , t0 ) = Z[c] ∼
= Z.
+
が知られている. これと (V0 , s) が定める写像 F(V
: HF + (−Y0 , t0 ) → HF + (−Y, t) を利用して c+ (ξ) ∈
0 ,s)
HF + (−Y, t) を定義する. （このとき, 向き について −Y とせざるを得ない慣習らしい）
∈ HF + (−Y, t) (up to ±1)
+
定義 14. [Contact invariant] c+ (ξ) = F(V
(c)
0 ,s)
b 束を D2 上の Lefschetz Fibration に拡張したものが定理 13 の V1 である. V0
［Step 2］S 1 上の曲面 (Σ)
cob
と V1 を Y1 で貼合せた V = V0 ∪ V1（∂V = Y ）に穴をあけて向きを逆にして V穴 : S 3
−Y とみなす.
+
+
3
+
この cobordism が定める写像 F(V,s) : HF (S ) → HF (−Y, t) について, 次のことが知られている
補題 5. If c1 (ξ) ∈ H 2 (Y ) is torsion, then
+
+
F(V,s)
(Θ−
−2 ) = ±c (ξ)
∈ HF + (−Y, t)
［Step 3］ここまで読むと (Y, ξ) = (∂W, ξ) に補題を適用しそうになるが, もう１ひねり必要. 主旨は
「2-handle のみの Stein cobordism M を挟み込んでも大丈夫」.
補題 6. Let (Y, ξ) be a Stein fillable contact manifold with torsion c1 (ξ). Let M be any Stein cobordism
built on (Y, ξ) which does not contain any 1-handles. Then M can be extended to a concave filling V
mix (Θ− ) = ±c+ (ξ).
of (Y, ξ) such that F(V,s)
−2
［Step 4］Relative version Φ(W,s) (ξ) of Ozsv´
ath-Szab´o invariant.
Stein 4-manifold W with (∂W, ξ)（言い換えて (∂W, t)) に対して, W穴 : −∂W
Φ(W,s) (ξ) (∈ Z/{±1}) を次で定める.
+
定義 15. F(W
穴 ,s)
(c+ (ξ)) = Φ(W,s) (ξ)Θ+
0
cob
S 3 を考えて
∈ HF + (S 3 ) (up to sign)
主定理の証明： 定理 13 の relatively minimal Lefschetz Fibration X = W ∪ M ∪ V についての HF
と LF の Basic class に関する定理 9 「Φ(X,k) = ±1」を X２穴 = W穴 ∪ M ∪ V穴 に適用して
mix
Θ+
= ± F(X
(Θ−
0
−2 )
２穴 ,s)
+
= ± F(W
穴 ,s)
+
= ± F(W
穴 ,s)
−
mix
◦ FM
∪V穴 (Θ−2 )
(c+ (ξ))
特に, c+ (ξ) が nontrivial であることがわかる.
一方, M を ハンドルを使ってうまく構成する ([AY]) と W の Cork twist τ で Xτ = W ∪τ M ∪ V が
adjunction formula を壊す Surface を（W ∪τ M 内に）もつようにできて, このとき定理 10 の後半に
より
mix
0 = ± F(X
(Θ−
−2 )
τ, ２穴 ,s)
+
= ± F(W
穴 ,s)
+
= ± F(W
穴 ,s)
−
mix
◦ τ ∗ ◦ FM
∪V穴 (Θ−2 )
(τ ∗ c+ (ξ))
14
このことから
τ ∗ c+ (ξ) 6= c+ (ξ)
∈ HF (−∂W, t)
が得られる.
後半は, τ ∗ : HF + (−∂W ) → HF + (−∂W ) が U -同変で HF ∞ (−∂W ) の像を保つことから.
謝辞. このメモの初期の版に注意深く目を通していただき, 有意義なコメントをくださった丹下基生さん
に 感謝いたします. また, 安部哲哉さんを始め, ハンドルセミナーの皆様に感謝いたします.
参考文献
[AK] S Akbulut and C
¸ Karakurt, Action of the cork twist on Floer homology , Proceedings of 18th G¨okova
Geometry-Topology Conference, 42–52.
[AD] S Akbulut and S Durusoy, Action of the cork twist on Floer homology , Geometry and topology of
manifolds, 1–9, Fields Inst. Commun., 47, AMS, Providence, RI, 2005.
[AO] S Akbulut and B Ozbagci, Lefschetz fibrations on compact Stein surfaces, Geom. Topol. 5 (2001), 319–334.
[AY] S Akbulut and K Yasui, Small exotic Stein manifold, Comment. Math. Helv. 85 no. 3 (2010), 705–721.
[OS] P Ozsv´ath and Z Szab´o, Absolutely graded Floer homologies and intersection forms for 4-manifolds eith
boundary , preprint Arxiv: math.SG/0110170v2
[OS2] P Ozsv´ath and Z Szab´o, Holomorphic triangle invariants and the topology of symplectic four-manifolds ,
Duke math. J., 121 no.1 (2004), 1–34.
[OS3] P Ozsv´ath and Z Szab´o, Holomorphic triangles and invariants for smooth four-manifolds, Adv. Math.
202 no. 2 (2006), 326–400.
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