経済数学練習問題 2 –微分の応用・行列–

経済数学練習問題 2 –微分の応用・行列–
1 ラグランジュ関数を用いて 3x ` y “ 5 という制約の下で 4xy ´ 2x2 ` y2 を最大化しなさい．
2 以下の問いに答えなさい．
1. 行列 A, B, C を
»
fi
»
fi
»
fi
5 2 ´1
´1
1 3
4
0
A “ – ´1 3 ´1 fl , B “ – 3 ´1 2 fl , C “ – 3 ´1 fl
2 1
4
2
3 1
´2
1
とするとき，行列の演算が定義されたものについて，次の計算をせよ．
(i) A ` B
(ii) A ´ 3B
(iii) B ` C
(iv) A ` B1
(v) pA ´ Bq1
(vi) p2A1 ´ 5Bq1
2. 行列 P, Q, R, X, Y, Z を
fi
3
2
2 1 1 2
1
— ´1
1 ﬃ
ﬃ
5 fl , Q “ – 4 1 1 1 fl , R “ —
– 0 ´1 fl ,
2 1 1 2
3
´2
2
» fi
3
–
Y “ 2 fl
3
»
»
3 ´1
1
P“– 2
1
2
fi
»
´1
X “ – 0 fl ,
1
fi
fi
»
とするとき，行列の演算が定義されたものについて，次の計算をせよ．
(i) PQ (ii) PQR (iii) QR1
(iv) YX1
(v) X1 Y
3 行列 A, B を
»
fi
„

2 ´4
5
2
´4
3 ´2 fl , B “
A“– 1
1
3
´3 ´2 ´4
とする．
1. |A|, |B|, A´1 , B´1 を求めなさい．
2. 1. で求めた逆行列を用いて，方程式
2x1 ´ 4x2 ` 5x3 “ 5
x1 ` 3x2 ´ 2x3 “ ´10
´3x1 ´ 2x2 ´ 4x3 “ ´6
を解きなさい．
1
(vi) X1 PX (vii) X1 PY (viii) PpX ` Yq
3. 2. の方程式をクラーメルの公式を用いて解きなさい．
4 行列 A を
„

12
A“
81
とするとき，A の固有値と固有ベクトルを求めなさい．ただし，固有ベクトルについては，長さが 1 になるよ
うに規準化したものを求めなさい．
5 行列 A を

„
12
A“
21
とするとき，A の固有値と固有ベクトルを求めなさい．また，Λ を A の固有値を対角要素に持ち，それ以外の
要素は 0 であるような行列であるとするとき，X1 AX “ Λ となるような行列 X を求めなさい．
6 行列 A を
„

´1 1
A“
1 ´2
とするとき，A は正値定符号行列か負値定符号行列と言えるか示しなさい．
7 f pxq “ x12 x23 , x “ px1 , x2 q1 とするとき， f pxq の勾配ベクトル B f pxq{Bx およびヘッシアン Hpxq を求めな
さい。
解答
1
f px, yq “ 4xy ´ 2x2 ` y2 , gpx, yq “ 3x ` y ´ 5 とする．ラグランジュ関数は
Lpx, y, λq “ f px, yq ´ λgpx, yq “ ´2x2 ` y2 ` 4xy ´ λp3x ` y ´ 5q
となる．Lpx, y, λq を x, y, λ で微分して 0 とおくと
BLpx, y, λq
“ ´4x ` 4y ´ 3λ “ 0
Bx
BLpx, y, λq
“ 2y ` 4x ´ λ “ 0
By
BLpx, y, λq
“ 3x ` y ´ 5 “ 0
Bλ
1
上の 2 つの式より y “ 23 λ, x “ ´ 12
λ．これを最後の式に代入すると
2
1
´ λ` λ´5“0
4
3
したがって λ “ 12．よって px, yq は x “ ´1, y “ 8 の時，最大値 p´1, 8q “ ´32 ´ 2 ` 64 “ 30 をとる．
2
2 (1)
»
»
fi
fi
4 3 2
8 ´1 ´10
6 ´7 fl (iii) 定義されない
(i) A ` B “ – 2 2 1 fl (ii) A ´ 3B “ – ´10
4 6 5
´4 ´8
1
»
fi
»
fi
4 5 1
6 ´4
0
4 ´2 fl
(iv) A ` B1 “ – 0 2 2 fl (v) pA ´ Bq1 “ A1 ´ B1 “ – 1
5 3 5
´4 ´3
3
»
fi
15 ´11 ´12
11 ´17 fl
(vi) p2A1 ´ 5Bq1 “ 2A ´ 5B1 “ – ´7
´11 ´8 ´3
(2)
»
fi
»
fi
3
2
4 3 3 7
4 3 3 7 —
´1
1
(i) PQ “ – 18 8 8 15 fl (ii) PQR “ pPQqR “ – 18 8 8 15 fl —
– 0 ´1
16 6 6 10
16 6 6 10
´2
2
»
fi
»
fi
´5 22
ﬃ
ﬃ “ – 16 66 fl
fl
22 52
fi
´3 0 3
(iii) 定義されない (iv) YX1 “ – ´2 0 2 fl (v) X1 Y “ 0
´3 0 3
»
fi
´1
´2 3 2 – 0 fl “ 4
1
»
(vi) X1 P “
“
´2 3 2
‰
であるから X1 PX “ pX1 PqX “
“
‰
fi
3
“
‰
(vii) X1 PY “ pX1 PqY “ ´2 3 2 – 2 fl “ 6
3
»
fi
fi
»
fi » fi »
2
8
3 ´1 1
2
1 5 fl – 2 fl “ – 26 fl
(viii) X ` Y “ – 2 fl であるから PpX ` Yq “ – 2
18
4
1
2 3
4
»
3 (1) サラスの展開法により
ˇ
ˇ
ˇ 2 ´4
5 ˇˇ
ˇ
3 ´2 ˇˇ
|A| “ ˇˇ 1
ˇ ´3 ´2 ´4 ˇ
“ 2 ¨ 3 ¨ p´4q ` p´4q ¨ p´2q ¨ p´3q ` 1 ¨ p´2q ¨ 5 ´ 5 ¨ 3 ¨ p´3q ´ p´2q ¨ p´2q ¨ 2 ´ p´4q ¨ 1p´4q
“ ´37
ˇ
ˇ 2 ´4
|B| “ ˇˇ
1
3
ˇ
ˇ
ˇ “ 2 ¨ 3 ´ p´4q ¨ 1 “ 10
ˇ
3
1`1
A11 “ p´1q
A23 “ 16, A31
ˇ
ˇ
ˇ 3 ´2 ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ´2 ´4 ˇ “ ´16, 以下同様にして A12 “ 10, A13 “ 7, A21 “ ´26, A22 “ 7,
“ ´7, A32 “ 9, A33 “ 10
であるから
»
fi
»
fi
A11 A21 A31
´16 ´26 ´7
1 –
1
A12 A22 A32 fl “ ´ – 10
7
9 fl
“
37
|A| A
7
16 10
13 A23 A33
A´1
同様にして
1
“
10
´1
B
„
3 4
´1 2

(2)
»
fi
»
fi
x1
5
x “ – x2 fl , b “ – ´10 fl
x3
´6
とすると，方程式は
Ax “ b
と書けるから
fi
´6
x “ A´1 b “ – 2 fl
5
»
したがって px1 , x2 , x3 q “ p´6, 2, 5q．
(3) クラーメルの公式により
ˇ
ˇ
ˇ
5 ´4
5 ˇˇ
ˇ
1
ˇ ´10
3 ´2 ˇˇ
x1 “
ˇ
|A|
ˇ ´6 ´2 ´4 ˇ
looooooooomooooooooon
“´
222
“ ´6
37
A の第 1 列を b で置き換えた行列式
同様にして
ˇ
ˇ
ˇ 2
ˇ
5
5
ˇ
1 ˇˇ
1 ´10 ´2 ˇˇ “ 2
x2 “
ˇ
|A| ˇ ´3 ´6 ´4 ˇ
ˇ
ˇ
ˇ 2 ´4
5 ˇˇ
ˇ
1 ˇ
1
3 ´10 ˇ “ 5
x3 “
|A| ˇˇ ´3 ´2 ´6 ˇˇ
4 A の固有方程式は
ˇ
ˇ
ˇ1 ´ λ 2 ˇ
ˇ
ˇ“0
|A ´ λI| “ ˇ
8 1 ´ λˇ
4
すなわち
p1 ´ λq2 ´ 16 “ 0.
したがって，固有値は λ1 “ ´3, λ2 “ 5.
pA ´ λIqx “ 0 p ただし x “ px1 , x2 q1 q に λ “ ´3 を代入すると
„
„  „ 
1 ´ p´3q
2
x1
0
“
8
1 ´ p´3q
x2
0
すなわち
4x1 ` 2x2 “ 0
8x1 ` 4x2 “ 0
この連立方程式の解は c1 を任意の定数として
„
x “ c1
1
´2
とかける．c1 “ 1{
«

?
5 とすれば、固有値 λ “ ´3 に対応する規準化された固有ベクトル
ﬀ
1
?
5
´2
?
5
x“
が求まる。同様にして λ “ 5 に対応する規準化された固有ベクトルは
«
x“
1
?
2
?
ﬀ
5
5
となる．
(補足) この解から
AX “ XΛ
となっていることが確認できる．
5 A の固有方程式は
ˇ
ˇ
ˇ1 ´ λ 2 ˇ
ˇ
ˇ“0
|A ´ λI| “ ˇ
2 1 ´ λˇ
すなわち
p1 ´ λq2 ´ 4 “ 0.
したがって A の固有値は -1,3.
pA ´ λIqx “ 0 p ただし x “ px1 , x2 q1 q に λ “ ´1, 3 を代入すると，固有ベクトルは
„

„ 
1
1
c1
, c2
´1
1
5
(1)
固有ベクトルを規準化するためには c1 “ c2 “
1
?
2
とすれば良い。A は対称行列なので，
„

1
11
X“ ?
2 ´1 1
とおけば X1 X “ I である．したがって，
AX “ ΛX
より
X1 AX “ Λ
が成立する．
6 A “ rai j s とする．
p´1q1 |a11 | “ p´1qp´1q “ 1 ą 0,
ˇ
ˇ
ˇ
1 ˇˇ
2 ˇ ´1
p´1q ˇ
“ p´1qp´2q ´ 1 ¨ 1 “ 1 ą 0
1 ´2 ˇ
であるから，A は負値定符号行列である．
7 f pxq の勾配ベクトルは
« B f pxq ﬀ «
ﬀ
2x1 x23
B f pxq
1
“ BBx
“
f pxq
Bx
3x2 x2
Bx1
1 2
ヘッシアンは
B 2 f pxq
Hpxq “
“
BxBx1
B2 f pxq
Bx1 Bx1 Bx1 Bx2
B2 f pxq B2 f pxq
Bx2 Bx1 Bx2 Bx2
« B2 f pxq
ﬀ
«
“
2x23 6x1 x22
6x1 x22 6x12 x2
6
ﬀ

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