467 解答

467_双曲線の接線の性質
練習問題
解答
■ 練習問題．
双曲線 C :
(1)
(2)
2
x 2 − y = 1 について，以下の問いに答えよ．
a 2 b2
C の漸近線を求めよ．
C 上の点 P ( x0 , y0 ) における接線の方程式を求めよ．
(3)
C 上の点 P における接線と(1)で求めた漸近線 l，m との交点をそれぞれ Pl，Pm とし，
さらに P と異なる C 上の点 Q における接線と l，m との交点をそれぞれ Ql，Qm とする．
このとき，Pl Qm S PmQl を証明せよ．
2
y2
C : x2 − 2 = 1
a
b
s
(お茶の水女子大)
① とする．
(1)
C の漸近線の方程式は
y=± b x
a
(2)
①の両辺を x で微分すると
2 x − 2 yy′ = 0 ⇔
a2
b2
2
yy′ = b 2 x
a
2
b x
したがって， y ' 0 のとき， y ′ = 2 ⋅
a y
(ⅰ)
2
x
y0 ' 0 のとき，点 P ( x0 , y0 ) における接線の傾きは， y′ = b 2 ⋅ 0 であるから，接
a y0
線の方程式は
2
x
y − y0 = b 2 ⋅ 0 ( x − x0 ) ⇔
a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2
− 2 = 2 − 2
a2
b
a
b
2
2
x
y
ここで，点 P ( x0 , y0 ) は①上の点であるから 02 − 02 = 1
a
b
x0 x y0 y
よって
②
− 2 =1
a2
b
(ⅱ) y0 = 0 のとき， x0 = ± a であるから，この点における接線の方程式は
x = ± a （複号同順）
⇔
y0 y x0 x x0 2 y0 2
= 2 − 2 + 2
b2
a
a
b
y0 y − y0 2 x0 x − x0 2
=
b2
a2
⇔
であり，これは②に含められる．
以上，(ⅰ)，(ⅱ)より，C 上の点 P ( x0 , y0 ) における接線の方程式は
x0 x y0 y
− 2 =1
a2
b
(3)
②と漸近線 l : y =
②
b x との交点は
a
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
x0 x y0 b
y ⎞
⎛x
− 2 ⋅ x = 1 ⇔ ⎜ 02 − 0 ⎟ x = 1 ⇔
2
ab ⎠
a
b a
⎝a
2
⇔ x= a b
bx0 − ay0
bx0 − ay0
x =1
a 2b
⎛
a 2b ,
ab 2 ⎞
⎟
⎝ bx0 − ay0 bx0 − ay0 ⎠
b
同様に，②と漸近線 m : y = − x との交点を求めると
a
2
⎛ a 2b
⎞
Pm ⎜
, − ab
⎟
+
+
bx
ay
bx
ay
0
0
0 ⎠
⎝ 0
より，Pl ⎜
また，点 Q の座標を ( x1 , y1 ) とおくと
⎛
a 2b ,
ab 2
⎝ bx1 − ay1 bx1 − ay1
Ql ⎜
⎞
⎛ a 2b
ab 2 ⎞
，Q
,
−
m
⎜ bx + ay
⎟
bx1 + ay1 ⎟⎠
1
⎠
⎝ 1
したがって
⎛
a 2b
a 2b
⎛
a 2b
a 2b
ab 2
⎞
ab 2
Pl Q m = ⎜
−
, −
−
bx1 + ay1 bx0 − ay0 ⎟⎠
⎝ bx1 + ay1 bx0 − ay0
ab 2
ab 2
⎞
Pm Ql = ⎜
,
−
+
⎟
⎝ bx1 − ay1 bx0 + ay0 bx1 − ay1 bx0 + ay0 ⎠
ここで
⎛ a 2b
a 2b ⎞ × ⎛ ab 2 + ab 2 ⎞
−
⎜ bx + ay bx − ay ⎟ ⎜ bx − ay bx + ay ⎟
1
0
0 ⎠ ⎝
1
1
0
0 ⎠
⎝ 1
2
2
2
⎛
⎞ ⎛ ab
a 2b ⎞
− ⎜ − ab
− ab
×
−
⎟ ⎜
⎟
⎝ bx1 + ay1 bx0 − ay0 ⎠ ⎝ bx1 − ay1 bx0 + ay0 ⎠
a 2b{(bx0 − ay0 ) − (bx1 + ay1 )} ab 2 {(bx0 + ay0 ) + (bx1 − ay1 )}
=
×
(bx1 + ay1 )(bx0 − ay0 )
(bx1 − ay1 )(bx0 + ay0 )
+
=
=
ab 2 {(bx0 − ay0 ) + (bx1 + ay1 )} a 2b{(bx0 + ay0 ) − (bx1 − ay1 )}
×
(bx1 + ay1 )(bx0 − ay0 )
(bx1 − ay1 )(bx0 + ay0 )
a 3b3{(bx0 − ay1 ) 2 − (ay0 + bx1 ) 2 } a 3b3{(bx0 + ay1 ) 2 − (ay0 − bx1 ) 2 }
+
(b 2 x0 2 − a 2 y0 2 )(b 2 x12 − a 2 y12 )
(b 2 x0 2 − a 2 y0 2 )(b 2 x12 − a 2 y12 )
2a 3b3 {(b 2 x0 2 − a 2 y0 2 ) − (b 2 x12 − a 2 y12 )}
(b 2 x0 2 − a 2 y0 2 )(b 2 x12 − a 2 y12 )
⎛
⎜∵
⎜
⎜
⎝
=0
⎞
x0 2 y0 2
x12 y12
−
=
1
,
− 2 = 1 より
⎟
2
2
2
a
b
a
b
⎟
b 2 x0 2 − a 2 y0 2 = a 2b 2 , b 2 x12 − a 2 y12 = a 2b 2 ⎟⎠
よって， Pl Q m SPm Ql となるから，Pl Qm S PmQl が成り立つ．
−2−
■

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