ベクトル 映像：（導入）ベクトル ☆ベクトルの性質 向きと大きさを持つ量 − → − → A 向き：矢印の向き 大きさ：| A | 矢印の長さ 点Ａ（始点）から点Ｂ（終点）に向かうベクトルは −→ AB と表記される ☆和と差 和 − → − → A+B つなぎ合わせる，平行線の対角線としてとらえる 差 − → − → B−A − → → − A の終点から Ｂ の終点へ矢印をひく ☆始点書きかえ公式 −−→ −−→ −−→ AB = XB − XA X は必要に応じて選択する ☆ベクトルの成分表示 − → p = ( a b ) → 大きさ；|− p|= √ a2 + b2 たとえば Ａ（1,2），B(3,4) とすれば −→ OA = ( 1 2 ) −→ ，OB = ( 3 4 ) となる また −→ −→ −→ OP = 2OA + OB = 2 ( 1 2 ) ( + 3 4 ) ( = 1 2 4 ) ( + 3 4 ) ( = 5 8 ) ☆内分点公式 ＡＢを m : n に内分する点Ｐのベクトルは −→ −→ OP = OA + m −→ AB m+n −→ m −→ −→ (OB − OA) = OA + m+n −→ −→ nOA + mOB = m+n ※重心ベクトル −→ −→ −→ −−→ OA + OB + OC OG = 3 ☆内積 − → → − a と b の内積は − → → − → − → a · b ＝ |− a || b |cosθ − → → − → → で定義される。また θ は − a と b とのなす角である。特に − a = b とすると − → → a ·− a = |a|2 また成分表示での内積は − → a = ( a1 a2 ) − → ( ，b = b1 b2 ) とすると − → − → a · b = a1 b1 + a2 b2 ベクトルの内積はスカラー（大きさのみの量）となる ※分配法則 − → − → − → − → → → − − → → a (− a + b)=− a ·→ a +→ a · b = |− a |2 + − a · b 例 √ − → → |− a + b|= 5 2 のとき両辺を２乗すると − → − → → − → − → − → − → → − − → → → → → → → → |− a + b |2 = ( − a + b )·(− a+b)=− a ·− a +2− a ・ b + b ・ b = |− a |2 +2− a・ b +| b |2 = 5 と変形可能 ☆平行条件・垂直条件 − → → 平行：− a = k b (k : 実数) − → → 垂直：− a・ b = 0 平面との直交条件は平面上の２ベクトルとの内積０と考える ☆面積公式 → − → − a , b によって作られる三角形の面積は √ − → − → 1 − → S= |→ a |2 | b |2 − ( − a・ b )2 2 ☆斜交座標 − → − → → p = x− a +y b で f (x, y) = 0 の関係が与えられているとき → − → − a を x 軸での単位目盛り， b を y 軸での単位目盛りとしてグラフ化する ☆ベクトル方程式 (1) 直線の方程式 定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り方向ベクトル (l, m, n) である直線上の点Ｐ (x, y, z) は l −→ AP = t m n x − x1 l y − y1 = t m z − z1 n ∴ (t =) y − y1 z − z1 x − x1 = = l m n (ii) 平面の方程式 − → 定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り法線ベクトル h = (a, b, c) である直線上の点Ｐ (x, y, z) は → → −→ − − AP・h = 0 3 x − x1 a y − y1 ・ b = 0 z − z1 c ∴ ax + by + cz + d = 0(d : 定数) 4 ★問題 １ −→ ３点Ａ (1,0),B(2,-2),C(-2,c) についてベクトル AB を求めよ。また３点Ａ，Ｂ，Ｃが１直 線上にあるとき c の値を求めよ ２ → − → ２つのベクトル − a = (3, 6), b = (− 21 , k) が平行であるとき k の値を求めよ ３ → − − → → − → → → a = (1, −1), b = (2, 5) のとき − p = 2− a + b の大きさ |− p | を求めよ 4 − → → → ２つのベクトル − a , b に対して |− a|= → − b の値を求めよ √ → √ − − → → → 3, | b | = 2, |− a − 2b| = 7 であるとき内積 − a・ ５ − → → 2 つのベクトル − a = (−1, 2), b = (8, c) が直交するとき c の値を求めよ。また，このと − → → → − → き 2− a + b ,|2− a + b | を求めよ ６ 平面上に３点Ｏ，Ａ，Ｂがあり，A(2,1),B(−3, k), ただし k > 0 とするとき△ＯＡＢの面 積が 11 2 のときの k の値を求めよ ７ 平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢを 2:1 に内分する点をＥ，ＢＤとＥＣの交点をＦとするとき −→ −→ −→ AF を AB, AD で表せ ８ −→ −→ −→ △ＯＡＢがあり OP = αOA + β OB とする。ＰがＡＢの中点となるときの α, β の値を求 めよ。また点 P が△ＯＡ B の重心のときの α, β の値を求めよ ９ −→ △ＯＡＢにおいて OC = 1 −→ −→ 2 OA, OD −→ = 2OB となる点をＣ，Ｄととる。ＣＤとＡＢの交点 をＰとするときＡＰ：ＰＢの値を求めよ 5 １０ −→ −→ − → 原点をＯとする座標平面上の３点Ａ，Ｂ，Ｐの間に 4AP + 3BP = 0 の関係があるとき −→ −→ −→ OP を OA, OB で表せ。またＰは線分ＡＢをいくらの比に分けるか １１ 直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて D A B C E H F G −→ −→ −→ −→ AG + DB + GC + 2CD を簡単にせよ １２ ３点 (1,-2,3),(α,-7,8),(4,-5,α) が１直線上にあるとき α の値を求めよ １３ −→ −→ −−→ −→ ３ 点 A(3,2,4),B(5,3,-3),C(3,-1,-1) と す る と AB, |AC|, ＡＢ・AC の 値 を 求 め よ 。ま た cos ∠ＢＡＣ の値を求めよ。 6 ★．５問題 １ → − − → − → → → → ２つのベクトル − a = (1, 4), b = (2, 2) について − a + t b を成分で表せ。また |− a +t b | が最小となるときの実数 t の値を求めよ ２ → − − → → → ２つのベクトル − a = (3, 2), b = (−1, 4) について m− a + n b = (2, 8) であるとき実数 − → → → m, n の値を求めよ。また 3− a − 2t b が − a と直交するときの実数 t の値を求めよ ３ 平行四辺形ＯＡＢＣの対角線 AC を１：３の比に内分する点をＤとして，ＯＤの延長と辺 → − −→ → −→ − −→ −→ → → Ａ B との交点をＥとする。OA = − a , OC = b とするとき OD, OE を − a , b を用いて表 せ ４ △ＯＡＢにおいて辺ＯＡの中点をＭ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＮとし，線分ＢＭと → → −→ → −→ − −→ → − 線分ＡＮとの交点をＰとする。OA = − a , OB = b とするとき OP を − a , b を用いて表 せ ５ −→ −→ −→ −→ △ＡＢＣの内部に点Ｐがあって 2AB + AC = 2(2PB + PC) を満たすとする。このとき， 辺ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。Ｑの位置を述べよ。また△ＰＡＢ：△ＰＢＣ：△ＰＣ Ａを求めよ ６ − → − → → → ２つのベクトル − a = (−x + 1, x − 3, 2x − 1), b = (1, 2, 3) について − a ⊥ b となる実数 − x を求めよ。また → a の大きさが最小になるときの x とその最小値を求めよ ７ 空間に３点 A(1,2,-3),B(-1,0,-2),C(2,-2,4) があるとき△ＡＢＣの面積を求めよ ８ 1 辺の長さが１の正四面体ＯＡＢＣの辺ＯＡ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとする。 →−→ → −→ − −→ − −−→ OA = → a , OB = b OC = − c とするとき MN を求めよ。また線分ＭＮの長さを求めよ 7 ★★問題 １ −→ −→ −→ −→ −→ 平面上に２つのベクトル OA = (−1, 2), OB = (3, 1) と OC = OA + tOB(t は実数) −→ (1)t = 12 のとき OC を成分表示せよ −→ (2)|OC| の最小値とそのときの t を求めよ −→ −→ −→ (3)(2) の t に対して OA + tOB と OB は垂直であることを示せ ２ − −→ − −→ → １辺の長さが l の正６角形ＡＢＣＤＥＦについて AB = → a ，AF = b とおく → −→ −−→ → − (1)AC，ＡＤ を − a , b を用いて表せ → − −→ −→ − (2)→ a , b を AC, AD で表せ → − −→ −−→ − (3)AC・ＡＤ = 12 のとき l, → a・ b の値を求めよ ３ → −→ → −→ − △ＯＡＢで OA = − a ,OB = b とする。ＯＢの中点をＭ，ＡＢを１：２に比に内分する点 をＮとし，線分ＡＭ，ＯＮの交点をＰとする → −→ → − (1)ON を − a , b で表せ → −→ → − (2)OP:ON=k : 1 とおいて OP を − a , b ,k で表せ。またＡＰ：ＰＭを l : 1 − l とおいて − → −→ − OP を → a b ,l で表せ (3)(2) の k, l の値を求めよ ４ −→ −→ −→ 平面上の４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃについて 5OC = 3OA + 4OB が成立しているとする。直線 → −→ → −→ − OA と直線 BC の交点を P, 直線 OB と直線 AC の交点を Q とし，OA = − a ,OB = b と する。 → −→ → − (1) 線分ＡＢ，ＯＣの交点を D とするとき OD を − a , b で表せ → −→ −→ → − (2)OP, OQ を − a , b で表せ (3) 線分ＯＣの中点をＬ，線分ＡＢの中点をＭ，線分ＰＱの中点をＮとするとき３点Ｌ， Ｍ，Ｎは１直線上にあることを示せ ５ △ＡＢＣがあり辺ＡＢを２：１に外分する点Ｄ，辺ＢＣを３：１に内分する点をＥ，ＡＣ → −→ → −→ − とＤＥの延長との交点をＦとする。AB = b , AC = − c として → → −→ −→ − (1)AD, AE を b , − c を用いて表せ → − −→ − → (2)AF を b , c をもちいて表せ 8 (3)AB=5,AC=7, ∠ BAC=60°のとき，△ＡＢＦの面積を求めよ ６ △ＯＡＢで OA=2,OB=1 ∠ＡＯＢ＝ 120°とし，頂点Ｏから辺ＡＢに垂線ＯＰを引く。 → −→ − −→ − OA = → a , OB = b とするとき − → − (1)→ a・ b を求めよ − −→ − → (2)OPを→ a , b で表せ (3) ＯＰの中点をＱとし，直線ＡＱと辺ＯＢとの交点をＲとするときＯＲ：ＲＢを求めよ ７ △ＡＢＣとその内部にある点について −→ −→ −→ 3PA + 2PB + 2PC = 0 (1)P の位置を説明せよ (2) △ＰＢＣと△ＰＣＡと△ＰＡＢの面積比をもっとも簡単な整数比で示せ ８ 映像：（典型）ベクトル 座標平面上に３点Ｏ（0,0）,A(6,3),B(2,6) があるとき (1) 点Ｐ (x, y) が実数 s, t を用いて −→ −→ −→ OP = sOA + tOB s + t = 1 で表されるとき，点Ｐの描く図形を図示せよ (2) 点 Q(x, y) が実数 p, q を用いて −→ −→ −→ OQ = pOA + q OB p + q ≤ 1, p ≥ 0, q ≥ 0 で表されるとき，点 Q の存在領域を図示せよ (3) 点 R(x, y) が実数 l, m を用いて −→ −→ −→ OR = lOA + mOB 1 ≤ l + m ≤ 3, l ≥ 0, m ≥ 0 で表されるとき，点 Q の存在領域を図示せよ 9 9 → −→ → −→ → −→ − 図の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨで AB = − a , AD = b , AE = − c とするとき D A B C E H F G → − −→ → − (1) △ＢＤＥの重心をＰとするとき APを− a , b ,→ c で表せ (2) 対角線ＡＧは点Ｐを通ることを示し，線分ＡＰ，ＰＧの長さの比を求めよ (3) 対角線ＡＧは平面ＢＤＥに垂直であることを示せ １０ 空間に A(-1,2,1),B(2,-1,1)C(x,-2,y) がある −→ (1) 線分ＡＢを t : 1 − t の比に内分する点を P とするときベクトル OP を求めよ −→ −→ −→ (2)(1) で求めた OP に対して OP・OC を求めよ −→ (3) 平面ＯＡＢと OC が垂直となるような x, y の値を求めよ １１ 直線 l 上の点 (x, y, z) が媒介変数 t を用いて x = 3t − 2, y = 4t + 3, z = 2t − 4 と表され るとき (1) 直線 l と xy 平面との交点の座標を求めよ (2) 直線 l を含み xy 平面と垂直な平面を α とする。平面 α と xy 平面との交線の方程式 を求めよ １２ 映像：（典型）ベクトル → −→ − −→ → −→ − 四面体ＯＡＢＣにおいて OA = − a , OB = b , OC = → c とおｋ → |− a|= √ √ − − → − → − → → → 2, | b | = 5, → c = 2, − a・ b = 2, b ・− c = 4, ∠ＡＯＣ = 45° (1) 辺ＡＢの長さを求めよ (2) △ＡＢＣの面積 S を求めよ (3) 四面体ＯＡＢＣの体積 Ｖ を求めよ 10 ★★★問題 １ 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣをＣの方に延長し，その延長上に点ＥをとってＣＥ＝２ ＡＣとなるようにする。また辺ＡＢおよび線分ＤＥの中点をそれぞれＰ，Ｑとする。ただ − −→ → −→ → し AB = − a , AD = b とする。 −−→ → − → (1)A Ｑ を − a , b で表せ −−→ → − → (2)ＰＱ を − a , b で表せ (3)3 点Ｐ，Ｃ，Ｑは一直線上にあり，点Ｃは線分ＰＱの中点であることを示せ ２ 図のように△ＯＡＢにおいて，辺ＯＡ，ＡＢ，ＢＯをそれぞれ１：２の比に内分する点をＣ， Ｄ，Ｅとする。さらに，ＢＣとＯＤ，ＯＤとＡＥ，ＡＥとＢＣの交点をそれぞれＦ，Ｇ，Ｈ − −→ → −→ → とし，辺ＡＢの中点ＭとＧを結ぶ直線がＯＡと交わる点をＮとする。OA = − a , OB = b とする。 B E H M D G F O C N A −−→ → − → (1)ＯＧ を − a , b で表せ −−→ → − → −−→ −→ (2)MG//BC を示し，ＭＮ を − a , b で表せ (3) △ＯＡＢと△ＦＧＨの面積比をもっとも簡単な整数比で表せ ３ 1 辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて，対角線ＡＣ，ＢＦの交点をＧとする。 −−→ → − −→ → AB = − a , A Ｆ = b とする 11 A B F G E C D → −→ → − (1)FB を − a , b で表せ − → −→ − また内積 → a・ b ,|FB| を求めよ −−→ −−→ → − −−→ −−→ → (2)ＧＢ，ＧＤ を − a , b で表せ。また ＧＢ・ＧＤ を求めよ −−→ −−→ (3)ＧＢ，ＧＤ のなす角を θ とするとき cosθ の値を求めよ 4 △ＡＢＣの 3 辺の長さがそれぞれＡＢ＝８,BC=7,CA=3 のとき (1) ∠Ａの大きさ A を求めよ −→ −→ (2) 内積 AB・AC を求めよ −−→ −→ −→ −→ (3) △ＡＢＣの外心をＯとして A Ｏ を AO = k AB + lAC と表すとき定数 k, l の値を求め よ ５ 映像：（典型）ベクトル 三辺の長さが BC=5,CA=6,AB=7 である△ＡＢＣの内接円と三辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの接 → −→ − −→ − 点を P,Q,R とする。線分ＡＰと線分ＢＱとの交点をＳとし，AB = b , AC = → c とおく。 → → −→ − (1)BP=x とおくとき線分ＡＱの長さを x を用いて表せ。また AP を b , − c で表せ − → −→ → − (2)AS を b , c で表せ。また 点Ｓは線分ＣＲ上にあることを示せ − → (3)|SP| を求めよ 6 OA=6,OB=4, ∠ＡＯＢ=60°である△ O ＡＢにおいて重心をＧ，垂心をＨとし，線分Ａ − −→ − −→ → 0 Ｈの延長と辺ＯＢとの交点を H とする。OA = → a , OB = b とする − → → −−→ → − → (1) 内積 − a・ b を求めよ。また OG を − a , b で表せ −−→0 −→ − → → (2)AH ，OH をそれぞれ − a , b で表せ −−→ − − → −→ −→ (3) 点Ｐが 2PG = GH を満たすとき O Ｐ を → a , b で表せ。また点Ｐは△ＯＡＢの外心 であることを示せ。 12 ７ 座標平面上に 2 点Ａ (1,4),B(-1,-3) があるとき −→ −→ (1)3OA + 2OB の大きさを求めよ −→ −→ −→ (2)α + β = 1 を満たす実数 α, β に対して，ベクトル OP = α2 OA + β 2 OB の終点Ｐはど んな図形を描くか ８ − −→ − −→ → −→ → 座標平面上に 2 点Ａ (1,1),B(-1,1) と動点Ｐ (x, y) に対して OP = → p , OA = − a , OB = b とし，３つの不等式 − → → → → − − → |− p | ≤ 1……i |− p |2 + 1 ≥ 2→ a・→ p ……ii |− p |2 + 1 ≥ 2 b ・− p ……iii を同時に満たす点Ｐの存在する領域をＤとする (1) 不等式 (i) を満たす点Ｐの存在する領域の面積を求めよ (2) Ｄの面積を求めよ (3) Ｄに属する任意の 2 点Ｑ，Ｒに対して −→ −→ −→ OS = tOQ + (1 − t)OR (0 ≤ t ≤ 1) を満たす点Ｓが存在する領域の面積を求めよ ９ 映像：（典型）ベクトル 2 −→ −−→ √ 平面上に 3 点Ｏ，Ｐ，Ｑがあり，OP・O Ｑ = −2, △ＯＰＱ=2 2 を満たしている。 −→ −→ |OP| = x, |OQ| = y, ∠ＰＯＱ=θ とする (1)cosθ,xy の値を求めよ −→ (2)|PQ| の最小値を求めよ −→ −→ −→ −→ −→ −→ (3)OT = OP + 32 OQ, s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1 とするとき OR = sOP + tOT を満たす点 Ｒの動く範囲の図形の面積を求めよ １０ 四面体ＯＡＢＣにおいて辺ＡＢの中点をＥ，辺ＯＣを 2:1 に内分する点をＦ，辺ＯＡを −→ −→ 1:2 に内分する点をＰとする。またＱを BP = tBC を満たす辺ＢＣ上の点とする。ＰＱと ＥＦが交わるとき，実数 t の値を求めよ １１ → 座標空間内の点 P1 (1, 0, 0) を通りベクトル − a1 = (1, 1, 0) に平行な直線を l1 とし，点 13 → P2 (0, 2, 0) を通りベクトル − a2 = (1, 0, 1) に平行な直線を l2 とする。 (1)l1 上の点 Q1 と l2 上の点 Q2 を結ぶ直線が l1 と l2 の両方に直交するとする。このと きの Q1 ,Q2 の座標を求めよ (2) 上で求めた 2 点 Q1 ,Q2 について線分 Q1 Q2 の長さを求めよ １２ − −→ − −→ → 原点を O とし，座標空間に 3 点Ａ (1,-1,0),B(0,1,-2),C(3,2,1) がある。OA = → a , OB = b とする (1) △ＯＡＢの面積を S とするとき， √ − → − → 1 − → S= |→ a |2 | b |2 − ( − a・ b )2 2 で表されることを示せ。また，これを用いて△ＯＡＢの面積を求めよ (2) 点Ｃを通り△ＯＡＢを含む平面に垂直な直線が，この平面と交わる点をＨとするとき， − → −→ − OH を → a , b を用いて表せ (3) 四面体ＯＡＢＣの体積 V を求めよ １３ 図の立体で，上面ＯＡＢと下面ＣＤＥは平行であり，これらは互いに合同な直角三角形で ある。また側面ＯＣ DA はひし形，側面ＡＢＥＤは平行四辺形，側面ＯＢＥＣは長方形で √ → −→ → −→ − −→ − − −c = − 3 ある。OA= 3,OB=1,AB=2 また OA = → a , OB = b , OC = − c とおくと → a・→ 2 である A B O D E C (1) ∠ＡＯＣの大きさを求めよ。またこの立体の体積を求めよ → → −−→ − − −−→ (2) △ＡＢＣの重心をＧとするとき，OG を → a , b ,− c を用いて表せ。また |OG| を求めよ (3)(2) で直線ＯＧと平面ＡＢＥＤとの交点をＦとするとき，ＯＧ：ＧＦをもっとも簡単な 整数の比で表せ 14 １４ Ｏを原点とする座標空間に 3 点Ａ，Ｂ，Ｃがあり， −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ OA・ＢＣ = OB・Ｃ A＝O Ｃ・A Ｂ = k → − → − を満たしている。点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをそれぞれ → a , b ,− c とする − → − → → → → − (1)k の値を求め，− a・− c =→ a・ b = b ・− c を示せ − → → (2) △ＡＢＣの重心Ｇのベクトルを g とする。− g が△ＡＢＣを含む平面に垂直であると き，△ＡＢＣは正三角形であることを示せ −−→ −→ −−→ (3)（２）において OA・O Ｂ = 2, |A Ｂ| = 2 のとき四面体Ｏ-ＡＢＣの体積を求めよ １５ 四面体ＡＢＣＤについて AB⊥CD,AC⊥BD とするとき −→ −−→ (1)AD・ＢＣ を求めよ (2) Ｏを四面体ＡＢＣＤに外接する球の中心として，点Ｈを −→ 1 −→ −→ −→ −→ OH = (OA + OB + OC + OD) 2 −→ −→ により定めるとき AH・BD = 0 であることを示せ (3) 頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄから対面に下ろした４つの垂線は点Ｈで交わることを示せ 15 ★★★★問題 １ −→ ＯＡ：ＯＢ＝ 3:2, ∠ＡＯＢ＝ 60°である△ＯＡＢの外接円の中心をＣとする。OA = → − −→ − −→ − → → − a , OB = b とするとき OCを→ a ，b で表せ ２ 平面上において，点Ｏを始点とする２つの半直線を l1 , l2 とし，それらのなす角は鋭角 θ とする。点Ａは l1 上の点でＯＡ=1, 点Ｂは l2 上の点で OB= b とする。次に直線ＡＢ上 に点Ｏからおろした垂線と直線ＡＢとの交点をＰとする。 −→ −→ −→ −→ −→ −→ (1)OA, OB により OP を OP = tOA + (1 − t)OB とするとき t を b と θ を用いて表せ (2)θ を固定し，b を b > 0 の範囲で動かすとき，点Ｐが l1 , l2 で挟まれる部分（ただし， l1 , l2 も含む）にあるための b の範囲を求めよ (3)b が (2) で求めた範囲で動くとき，点Ｐの描く軌跡と l1 , l2 で囲まれる部分の面積を求 めよ 3 四面体ＯＡＢＣがあり，∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝ 90°，∠ＢＯＣ＝ 60°，辺ＯＡ，ＯＢ，Ｏ Ｃの長さはそれぞれ a, a, 2 である。 このとき，点Ｏから三角形ＡＢＣを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をＰとす るとき，Ｐが三角形ＡＢＣの内部（辺上を含む) にあるための a の条件を求めよ ４ 映像：（典型）ベクトル 2 Ｏを原点とする xyz 空間に３点Ａ（4,-6,-2）,B(1,-5,3),C(1,-9,1) がある。Ｏから△ＡＢ Ｃを含む平面に下ろした垂線がこの平面と交わる点をＨとし，Ｈから直線ＡＢに下ろした 垂線の足をＱとする。 −→ (1)OH を成分で表せ −→ (2)AQ を成分で表せ 5 2 つの平面 α : 2x + y + z − 3 = 0…(i),β : x + 2y − z + 6 = 0 について (1)2 つの平面 α, β のなす角を鋭角で求めよ (2) ２つの平面 α, β の交線 l の方程式を求めよ (3) 平面 α 上の点Ａ (1,2,-1) を通り，平面 β と垂直な直線 m の方程式を求めよ。また m と β との交点 B の座標を求めよ。さらに直線 m を含み，直線 l と垂直な平面 γ の方程式 を求めよ 16 ６ 空間内の点Ａ，Ｂの座標をそれぞれ (0,0,1),(0,0,-1) とし，原点をＯとする。 −→ −→ (1) 点Ｐ (x, y, z) はＡ，Ｂと異なる点でベクトル AP とベクトル BP が垂直になるように 動くものとする。このとき x, y, z の満たす条件を求めよ (2) Ｐが (1) の条件を満たすとき，直線ＡＰと xy 平面の交点を Q(u, v, 0) とする。u, v を x, y, z を用いて表せ (3) このとき x, y, z を u, v をもちいて表せ −→ → (4)P が（１）の条件を満たし，さらに OP がベクトル − α = (1, 1, 1) に垂直になるように 動くとき，Ｑは xy 平面上のどのような図形を描くか答よ。 ７ 中心Ａ（2,2,2）, 半径 r = √ 3 の球面 S と，z 軸を含む平面 α : x − ky = 0 について (1) 球面 S と平面 α が１点で接するとき k の値を求めよ (2)k = 4 3 のとき平面 α と球面 S の交わりの円の半径とその中心の座標を求めよ 8 √ √ 1 3 − 1 3 − → − → → x1 = (1, 0), x2 = (− , ), x3 = (− , − ) 2 2 2 2 →, − → − → とおく。３つのベクトル − x 1 x2 , x3 の中から等確率 1 3 で１つのベクトルを取り出す試行を n 回くり返す。ただし，各試行は互いに無関係に行われるものとする。このときベクトル − →, − →, − → が取り出された回数をそれぞれ n .n , n（n + n + n = n）とする。 x x x 1 2 3 1 2 次の問に答えよ 3 1 2 3 − → + b− → + c− →=→ (1)a, b, c を実数とする。このとき a− x x x 0 となるための必要十分条件は 1 2 3 a = b = c であることを示せ (2)n = 3m(m は自然数) のとき − →+n − → − → → n1 − x 1 2 x2 + n3 x3 = 0 となる確率を Pm とする。 (イ)P1 を求めよ (ロ) 一般に，自然数 m に対して，Pm を求めよ (3)m > 1 に対して Pm < m Pm−1 m+1 17 であることを示せ。 ９ → 座標空間において，原点Ｏを通り，ベクトル − u = (1, 4, 1) に平行な直線を l, 点Ａ (0,2,1) を中心とする半径１の球面を S とする。直線 l と球面 S の交点の内，原点Ｏに近いもの をＰとおく。 (1) 点Ｐの座標を求めよ −→ −−→ (2) 内積 PO・ＡＰ を求めよ −→ (3) 平面ＡＰＯ上で，直線ＡＰに関して，点Ｏと対称な点をＲとする。ベクトル PR を成 分で表せ。 (4) 直線ＰＲと xy 平面の交点の座標を求めよ １０ (1)xy 平面で，動点Ｐは集合 M =｛(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1｝を 動点Ｑは集合 N =｛(x, y)||x| + |y| = 3｝を動くとする。このとき， −→ −→ −→ OR = OP + OQ で表される点Ｒが動いてできる図形を図示しその面積を求めよ。ただし Ｏは原点とする。 (2)xyz 空間で，動点Ｐは集合 M =｛(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1｝を 動点Ｑは集合 N =｛(x, y, z)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1｝を動くとする。このとき， −→ −→ −→ OR = OP + OQ で表される点Ｒが動いてできる図形の体積を求めよ。ただしＯは原点と する。 18 ★★★★★問題 １ −→ −→ → −→ −→ − −→−→ → △ ABC において AB・AC = − x ，BC・BA＝→ y ，CACB＝− z とおく。 (1) 各辺の長さをそれぞれ x, y, z を用いて表せ (2)xy + yz + zx > 0 が成立することを証明せよ 2 映像：（難問）ベクトル１ 自然数 k に対して，xy 平面上のベクトル v~k = (cos 45◦ k, sin 45◦ k) を考える。a, b を正の − → − → − → − → 数とし，次の xy 平面上のベクトル P0 , P1 , P2 , ……P8 を − → P0 = (0, 0) −−−−−−→ −→ P2n P2n+1 = a− v− 2n+1 (n = 0, 1, 2, 3) −−−−−−−−→ −→ P2n+1 P2n+2 = b− v− 2n+2 (n = 0, 1, 2, 3) により定める (1)P0 = P8 を示せ (2)P0 , P1 , P2 ………P8 を順に結んで得られる八角形の面積を a, b で表せ √ (3) 面積 S が７，線分 P0 P4 の長さが 10 のとき a, b の値を求めよ 3 四面体 OABC の面 ABC の重心を G とする。線分 OG を t : 1 − t の比に内分する点を P とする。また直線 AP と面 OBC の交点を A’，直線 BP と面 OCA の交点を B’，直線 CP と面 OAB の交点を C’ とする。このとき三角形 A’B’C’ と三角形 ABC は相似である ことを示し，相似比を求めよ。 4 空間に点 A(0,0,6) と球面 S:x2 + y 2 + z 2 − 2y − 2z + 1 = 0 がある。A から S に接線を 引き，その接点を P とする。またその接線が xy 平面と交わる点を Q とする。接点 P が S 上を動くとき，点 Q の軌跡を表す方程式を求めよ。 5 半径 r の球面上に４点 A,B,C,D がある。四面体 ABCD の各辺の長さは AB = √ 3, AC = AD = BC = BD = CD = 2 19 を満たしている。このとき r の値を求めよ。 6 四面体 OABC は次の２つの条件 (i)OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB (ii) ４つの面の面積はすべて等しい を満たしている。この四面体は正四面体であることを示せ 7 三角錐 ABCD において辺 CD は底面 ABC に⊥である。AB=3 で辺 AB 上の 2 点 E,F は AE=EF=FB=1 を満たし，∠ DAC=30°，∠ DEC=45 °，∠ DBC=60°である。 (1) 辺 CD の長さを求めよ (2)θ=∠ DFC とおくとき cos θ を求めよ。 8 映像：（難問）ベクトル２ 四面体 OABC において OA=OB=2,OC=1, ∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=60°とする。 −→ −→ −→ 辺 OA 上に点 P を OP = xOA となるようにとり，三角形 OBC の内部に点 Q を内積 PQ −→ −→ −→ ・OB と PQ・OC がともに 0 になるようにとる。 −→ −→ −→ (1)OQ を x, OB, OC を用いて表せ (2)x が 0 < x < 1 の間を動くとき，四面体 BCPQ の体積の最大値と，その最大値を与え る x の値を求めよ 9 r は 0 < r < 1 をみたす実数とする。xyz 空間に原点 (0,0,0) と 2 点 A(1,0,0),B(0,1,0) を とる。 −→ −→ −→ (1)xyz 空間の点 P で条件 |PA| = |PB| = r ・|PO| を満たすものが存在するような r の範 囲を求めよ −→ −→ (2) 点 P が (1) の条件をみたして動くとき，内積 PA・PB の最大値，最小値を r の関数と 考えてそれぞれ M (r), m(r) で表す。このとき左からの極限 lim (1 − r)2 (M (r) − m(r)) r → 1−0 を求めよ。 10 C を底面が半径２の円で高さが６の直円錐とし，これを xyz 空間に頂点が原点 (0,0,0) で 20 √ √ 底面の中心が A(0, 3 2, 3 2) となるようにおく。C の表面のうち底面と頂点以外の部分 を側面と呼ぶ (1)P(a, b, c) を C の側面上の点とする。P から線分 OA に下ろした垂線の長さを b, c で表 せ。 (2)(x, y, 2) が C の表面上の点であることを表す x と y の方程式を求めよ。 11 xyz 空間において，xy 平面上に原点を中心とする半径２の円 C がある。また，点 (0,1,0) を通りベクトル (1,1,-2) に平行な直線を l とする。この l 上の動点 P から最短距離にある C 上の点を Q とする。点 P が l 全体を動くとき，点 Q が動く範囲を図示せよ。 21
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