(2 + B3) ¡! ON

1
4ABC の外接円の半径は 1 である．この外接円の中心 O から 3 つの辺 BC，CA，AB へ下
ろした垂線をそれぞれ OL，OM，ON とし，
B ¡! ¡!
B ¡! ¡
!
3OL + OM + (2 + 3)ON = 0
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
が成立しているとする． a = OA; b = OB; c = OC とおくとき，次の問に答えよ．
¡
! ¡
! ¡
!
(1) c を a ; b で表せ．
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b を求めよ．
(3) ÎAOB および ÎACB を求めよ．
(4) 4ABC の面積を求めよ．
2
数列 an を an = n #
81 n
; (n = 1; 2; 3; Ý) により定義する．
100
an+1
< 1 となる n の最小値はアである．
an
(2) log10 a11 を小数第 3 位を四捨五入して得られる値は
(1)
イ
である．
(3) an < 1 をみたす n を小さいものから順に n1 ; n2 ; n3 ; n4 ; Ý とおく．n4 は
ウ
であ
る．ただし，log10 3 = 0:4771，log10 2 = 0:3010，log10 1:1 = 0:0414 であることを利用
してよい．
3
原点を O とする座標平面において，次の極方程式で表される 2 つの曲線を考える．
r = f(µ) = 3 cos µ;
r = g(µ) = 1 + cos µ
ただし，0 5 µ < 2¼ とする．また，極座標が (f(µ); µ)，(g(µ); µ) である点をそれぞ
れ P，Q とする．
ア
(1) 点 P は，中心が直交座標で %
イ
周上を動く．
;
ウ
= であり，半径が
¼
(2) 点 P(f(µ); µ) と点 Q(g(µ); µ) の間の距離は µ =
最小値
ケ
をとり，µ =
コ
のとき最大値
カ
サ
(3) 線分 PQ の中点が原点 O となるとき，点 P の直交座標は &
である．
および
エ
である円の
オ
キ
¼ のとき
ク
をとる．
シ
スセ
; §
ソ
C
ツテ
タチ
>
4
p
¼
¼
; を満たす．下
，ÎA1 B1 C = µ #0 < µ <
4A1 B1 C は，B1 C = 2，ÎB1 A1 C =
2
2
図のように，点 A1 から辺 B1 C に下ろした垂線を A1 B2 とし，点 B2 から辺 A1 C に下ろし
た垂線を B2 A2 とする．次に，点 A2 から辺 B1 C に下ろした垂線を A2 B3 とし，点 B3 か
ら辺 A1 C に下ろした垂線を B3 A3 とする．この操作を繰り返し，辺 A1 C 上に点 A2 ，A3 ，
A4 ，Ý を，辺 B1 C 上に点 B2 ，B3 ，B4 ，Ý を定める．自然数 n に対し，4An Bn Bn+1 の面
1
P
積を Sn とし，これらの面積の総和を T =
Sn とする．このとき，次の問いに答えよ．
n=1
(1) S1 = sin µ cos3 µ，S2 = sin5 µ cos3 µ を示し，一般項 Sn を求めよ．
sin µ cos µ
を示せ．
1 + sin2 µ
¼
(3) µ が 0 < µ <
の範囲を動くとき，T の最大値を求めよ．
2
(2) T =
5
n を自然数とする．曲線 y = x2 (1 ¡ x)n (0 5 x 5 1) と x 軸とで囲まれる図形の面積を
Sn とする．
(1) Sn を求めよ．
(2) Tn = S1 + S2 + Ý + Sn とするとき， lim Tn を求めよ．
n!1

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