2014年度後期応用数学4確認問題9 （解答） 9．ベクトル場の発散と回転

2014 年度後期応用数学４確認問題９（解答）
2014 年 11 月 28 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
９．ベクトル場の発散と回転
問 9.1 a > 0 とし，r(t) = a cos ti + a sin tj とおく．このとき，r(t) を流線とするようなベクト
ル場 A を求めよ．
[解] x = a cos t, y = a sin t とおくと，
dr
= −a sin ti + a cos tj = −yi + xj.
dt
いま r が A の流線ならば，
dr
A
1
= dt = √
(−yi + xj)
dr
|A|
x2 + y 2
dt
でなければならない．従って，
A = f (x, y, z) (−yi + xj)
となる．ただし，f (x, y, z) は任意のスカラー場である．
問 9.2 ベクトル場
(
A=
√
x
x2 + y 2
)
−y i+
(
√
y
x2 + y 2
)
+x j
の流線を描け．
√
[解] x = t cos t, y = t sin t (t > 0) とおくと， x2 + y 2 = t より，
dr
= (cos t − t sin t)i + (sin t + t cos t)j = A
dt
が成立する．従って r(t) = t cos ti + t sin tj が A の流線となる．
1
問 9.3 ベクトル場 A(x, y, z) =
rot A を求めよ．
[解]
dr
x
= より，
dx
r
となる．同様にして
√
1
(xi + yj + zk) (r ̸= 0)，r = x2 + y 2 + z 2 に対し，div A と
3
r
∂Ax
1
3x dr
1
3x2
= 3− 4
= 3− 5
∂x
r
r dx
r
r
∂Ay
1
3y 2 ∂Az
1
3z 2
= 3− 5 ，
= 3 − 5 が分かる．従って，
∂y
r
r
∂z
r
r
div A =
∂Ax ∂Ay
3
∂Az
3
+
+
= 3 − 5 (x2 + y 2 + z 2 ) = 0
∂x
∂y
∂z
r
r
となる．次に，
rot A =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
)
( ( )
)
(
)
∂ (z)
∂ (y)
∂ x
∂ (z)
∂ (y)
∂ (x)
=
−
i+
−
j+
−
i
∂y r3
∂z r3
∂z r3
∂x r3
∂x r3
∂y r3
( yz yz )
( xz xz )
( xy xy )
= − 5 + 5 i + − 5 + 5 i + − 5 + 5 i = 0.
r
r
r
r
r
r
(
問 9.4 ベクトル場 A = −yi + xj に対し，div A と rot A を求めよ．
[解]
∂
∂
(−y) +
(x) = 0.
∂x
∂y
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
rot A =
(0) −
(x) i +
(−y) −
(0) j +
(x) −
(−y) k = 2k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
div A =
2

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