2014年度後期応用数学4確認問題5 （解答） 5．ベクトル値関数の積分

2014 年度後期応用数学４確認問題５（解答）
2014 年 10 月 31 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
５．ベクトル値関数の積分
問 5.1 次のベクトル値関数の不定積分を求めよ．
(i) A(u) = i + eu j +
1
k
u
(ii) r(u) = a cos ui + b sin uj (a, b ∈ R)
[解.] (i)
∫
A(u)du = ui + eu j + log |u|k + B,
ただし，B は任意の定ベクトル．
(ii)
∫
r(u)du = a sin ui − b cos uj + B,
ただし，B は任意の定ベクトル．
問 5.2 A(u) = log ui +
1
1
j + 2 k，r(u) = a cos ui + b sin uj (a, b ∈ R) に対し，
u2 + 1
u
∫ 2
∫ π
A(u)du,
r(u)du.
1
0
を求めよ．
[解.]
∫
2
1
[
]
(
1 2
π)
1
−1
A(u)du = (u log u − u)i + tan uj − k = (2 log 2−1)i+ tan−1 2 −
j+ k.
u 1
4
2
∫
0
π
r(u)du = [a sin ui − b cos uj]π0 = 2bj.
1
問 5.3 A(u) = (3u2 + 2u)i − 3j + (2u + 1)k のとき，
∫
1
0
A·
∫
dA
du,
du
0
1
A×
dA
du
du
を求めよ．
∫
0
∫
0
1
1
[
]1
dA
1
A·
du =
A·A
du
2
0
]1
1[ 2
=
(3u + 2u)2 + 9 + (2u + 1)2 0
2
1
33
= (43 − 10) = .
2
2
dA
A×
du =
du
∫
1(
)
(3u2 + 2u)i − 3j + (2u + 1)k × ((6u + 2)i + 2k) du
0
∫
1
(−6)i + (6u2 + 6u + 2)j + (18u + 6)kdu
=
0
[
]1
= −6ui + (2u3 + 3u2 + 2u)j + (9u2 + 6u)k 0
= −6i + 7j + 15k.
2

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