問題の解答 No.11 >

2009 年度「数学 8」
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< 問題の解答　No.11 >
P. 28
問 4 (1) f (t) が偶関数のとき
1
Ck =
L
Z
2
L
Z
=
f (t)e
−ikωt
−L
2
1
dt =
L
(Z
L
2
−L
2
L
2
f (t) cos (kωt)dt − i
Z
L
2
f (t) sin (kωt)dt
−L
2
)
となる。同様にして
f (t) cos (kωt)dt
0
1
=
L
C−k
L
2
Z
L
2
ikωt
f (t)e
−L
2
2
dt =
L
Z
L
2
f (t) cos (kωt)dt = Ck
0
であるから，フーリエ級数は
∞
X
Ck eikωt =
k=−∞
∞
X
k=1
= C0 +
∞
X
k=1
C−k e−ikωt + C0 e0 +
∞
X
Ck eikωt
k=1
∞
X
¡
¢
Ck e−ikωt + eikωt = C0 +
Ck × 2 cos (kωt)
となる。
k=1
C 0 = a0 ,
2Ck = ak とおくと，f (t) のフーリエ級数は
(答) f (t)
～
∞
X
a0 +
ak cos (kωt)
k=1
Ã
2
ただし a0 =
L
Z
L
2
0
4
f (t)dt , ak =
L
Z
L
2
0
2π
f (t) cos (kωt)dt , ω =
L
!
(2) f (t) が奇関数のとき
(Z L
)
Z L2
Z L2
2
1
1
−ikωt
Ck =
f (t)e
dt =
f (t) cos (kωt)dt − i
f (t) sin (kωt)dt
L − L2
L
−L
−L
2
2
2i
=−
L
1
=
L
C−k
C0 =
∞
X
1
L
Z
Z
L
2
Z
L
2
=
k=1
ikωt
f (t)e
−L
2
L
2
2i
dt =
L
Z
L
2
0
f (t) sin (kωt)dt = −Ck ,
f (t)e0 dt = 0 であるから
−L
2
ikωt
Ck e
k=−∞
∞
X
となる。同様にして
f (t) sin (kωt)dt
0
=
∞
X
©
ikωt
Ck e
k=1
−ikωt
+ C−k e
ª
=
∞
X
k=1
¡
¢
Ck eikωt − e−ikωt
Ck {2i sin (kωt)}
ここで 2iCk = bk とおくと，f (t) のフーリエ級数は
(答) f (t)
～
∞
X
bk sin (kωt)
k=1
Ã
4
ただし bk =
L
Z
L
2
0
2π
f (t) sin (kωt)dt , ω =
L
!

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