2014年度後期応用数学4 確認問題 12（解答） 12. 面積分

2014 年度後期応用数学４確認問題 12（解答）
2015 年 1 月 9 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
12. 面積分
問 12.1 a, b, c > 0 とし，曲面 S は
x y z
+ + −1=0
a
b
c
(x, y, z > 0)
で与えられるとする．また φ(x, y, z) = xyz とする．このとき，
∫
φ(x, y, z)dS
S
を求めよ．
[解] S は z = c(1 − x/a − y/b) と表されるので，φ(x, y, z(x, y)) = cxy(1 − x/a − y/b) かつ
√
1+
(
∂z
∂x
)2
(
+
∂z
∂y
√
)2
=
1+
c2
c2
+ 2.
2
a
b
従って，
√
c2
x y)
c2
1+ 2 + 2
φ(x, y, z)dS =
cxy 1 − −
a
b
a
b
S
√D
∫
∫
a
−bx/a+b
(
c2
c2
x y)
=c 1+ 2 + 2
dxdy
xy 1 − −
a
b 0 0
a
b
{∫ ( [
) }
√
]−bx/a+b
∫ −bx/a+b (
a
c2
c2
by (
x y )2
b
x y )2
=c 1+ 2 + 2
x −
1− −
+ x
1− −
dy dx
a
b
2
a
b
2 0
a
b
0
0
√
∫
c2
c2 a b2 (
x )3
=c 1+ 2 + 2
− x 1−
dx
a
b 0
6
a
√
([
]a
)
∫
b2 c
c2
c2
a (
x )4
a a(
x )4
=−
1+ 2 + 2
− x 1−
+
1−
dx
6
a
b
4
a
4 0
a
0
√
c2
a2 b2 c2
c2
=
1+ 2 + 2
120
a
b
abc √ 2 2
=
a b + b2 c2 + a2 c2 .
120
∫
∫∫
(
1
問 12.2 a, b, c > 0 とし，曲面 S は
x y z
+ + −1=0
a
b
c
(x, y, z > 0)
で与えられるとする．ここで S の向きは，法線ベクトルが (1/a, 1/b, 1/c) と同じ向きになるようにとったも
のとする．また A = ax2 i + by 2 j + cz 2 k とする．このとき，
∫
A · ndS
S
を求めよ．
[解] S は z = c(1 − x/a − y/b) と表されるので，−
∂z
c
∂z
c
= ,−
= および
∂x
a ∂y
b
(
x y )2
A(x, y, z(x, y)) = ax2 i + by 2 j + c3 1 − −
k.
a
b
従って，
) (
x y )2
c c )
A · ndS =
ax i + by j + c 1 − −
k ·
, , 1 dxdy
a
b
a b
S
D
)
∫ a ∫ −bx/a+b (
(
x y )2
=c
x2 + y 2 + c2 1 − −
dydx
a
b
0
0
)
(
)3
∫ a (
b
1
b
bc2 (
x )3
2
=c
x − x+b +
− x+b +
1−
dx
a
3
a
3
a
0
(
(
)3
(
)3 )
∫ a
3
2
b 3
b
1
bc
1
=c
− x + bx2 +
− x+1 +
− x+1
dx
a
3
a
3
a
0
[
(
)4
(
)4 ]a
b 4 b 3 ab3
1
abc2
1
=c − x + x −
− x+1 −
− x+1
4a
3
12
a
12
a
0
( 3
)
(
)
a b a3 b
ab3
abc2
=c −
+
+c
+
4
3
12
12
3
3
3
a bc ab c abc
=
+
+
.
12
12
12
∫
∫∫ (
2
2
3
(
2

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