2014年度後期応用数学4 確認問題 13. ガウスの定理とグリーンの定理

2014 年度後期応用数学４確認問題 13
2015 年 1 月 7 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
13. ガウスの定理とグリーンの定理
問 13.1 S を R3 内の単位球面，V を単位球の内部とし，n は S の外向き単位法線ベクトルとする．また
A = xi + yj + zk とおく．このとき
∫
A · ndS
S
を求めよ．
問 13.2 S を単位球面，V を単位球の内部とし，n は S の外向き単位法線ベクトルとする．また A =
yzi + xzj + xyk とおく．このとき
∫
A · ndS
S
を求めよ．
1
問 13.3 C を R2 内の単位円周で，向きは反時計周りとする．また f (x, y) = −x2 y −
1 3
y とする．このとき，
3
∫
f dx
C
を求めよ．
問 13.4 C を R2 内の単純閉曲線（自分自信と交わらない閉曲線）とする．R2 上の関数 u(x, y), v(x, y) はコー
シー・リーマンの関係式
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
を満たしているとする．このとき
∫
∫
(udx − vdy) = 0,
(vdx + udy) = 0
C
C
を示せ．
2

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